泛函分析笔记06：Lp与lp空间

2.2 lpl^plp与LpL^pLp空间

首先介绍三个常用不等式。

设 p,q>0,1p+1q=1p, q>0, \quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1p,q>0,p1+q1=1,则对 ∀a,b∈K\forall a, b \in \mathbb{K}∀a,b∈K 有

∣ab∣≤∣a∣pp+∣b∣qq|a b| \leq \frac{|a|^{p}}{p}+\frac{|b|^{q}}{q} ∣ab∣≤p∣a∣p+q∣b∣q

Hölder不等式

设 p,q>0,1p+1q=1p, q>0, \quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1p,q>0,p1+q1=1,

(1) ∀an,bn∈K(n∈N)\forall a_{n}, b_{n} \in \mathbb{K}(n \in \mathbb{N})∀an,bn∈K(n∈N) 有
∑n=1∞∣anbn∣≤(∑n=1∞∣an∣p)1p(∑n=1∞∣bn∣q)1q\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right| \leq\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|^{q}\right)^{\frac{1}{q}} n=1∑∞∣anbn∣≤(n=1∑∞∣an∣p)p1(n=1∑∞∣bn∣q)q1
(2) 设 EEE 为 R\mathbb{R}R 中Lebesgue可测集, x,yx, yx,y 在 EEE 上可测, 则
∫E∣x(t)y(t)∣dt≤(∫E∣x(t)∣pdt)1p(∫E∣y(t)∣qdt)1q\int_{E}|x(t) y(t)| d t \leq\left(\int_{E}|x(t)|^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{E}|y(t)|^{q} d t\right)^{\frac{1}{q}} ∫E∣x(t)y(t)∣dt≤(∫E∣x(t)∣pdt)p1(∫E∣y(t)∣qdt)q1

Minkowski不等式

设 1≤p<∞1 \leq p<\infty1≤p<∞, 则

(1) ∀an,bn∈K(n∈N)\forall a_{n}, b_{n} \in \mathbb{K}(n \in \mathbb{N})∀an,bn∈K(n∈N) 有
(∑n=1∞∣an+bn∣p)1p≤(∑n=1∞∣an∣p)1p+(∑n=1∞∣bn∣p)1p\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}+b_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \leq\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} (n=1∑∞∣an+bn∣p)p1≤(n=1∑∞∣an∣p)p1+(n=1∑∞∣bn∣p)p1
(2) 设 EEE 为 R\mathbb{R}R 中Lebesgue可测集, x,yx, yx,y 在 EEE 上可测, 有
(∫E∣x(t)+y(t)∣pdt)1p≤(∫E∣x(t)∣pdt)1p+(∫E∣y(t)∣pdt)1p\left(\int_{E}|x(t)+y(t)|^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}} \leq\left(\int_{E}|x(t)|^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{E}|y(t)|^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}} (∫E∣x(t)+y(t)∣pdt)p1≤(∫E∣x(t)∣pdt)p1+(∫E∣y(t)∣pdt)p1

例1：（ lpl^plp空间 ）设 1≤p<∞,ℓp={x={ξn}n=1∞:ξn∈K(n∈1 \leq p<\infty, \quad \ell^{p}=\left\{x=\left\{\xi_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}: \xi_{n} \in \mathbb{K} \quad(n \in\right.1≤p<∞,ℓp={x={ξn}n=1∞:ξn∈K(n∈ N), ∑n=1∞∣ξn∣p<∞}\left.\sum_{n=1}^{\infty}\left|\xi_{n}\right|^{p}<\infty\right\}∑n=1∞∣ξn∣p<∞}, 通常加法和数乘, 则 ℓp\ell^{p}ℓp 是一个线性空间，
定义
∥x∥=(∑n=1∞∣ξn∣p)1p,∀x∈ℓp\|x\|=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|\xi_{n}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}, \quad \forall x \in \ell^{p} ∥x∥=(n=1∑∞∣ξn∣p)p1,∀x∈ℓp
则 (ℓp,∥⋅∥)\left(\ell^{p},\|\cdot\|\right)(ℓp,∥⋅∥) 成为一个可分的 (B)(B)(B) 空间。

例2：（ LpL^pLp空间 ）设 EEE 为 R\mathbb{R}R 中 Lebesgue 可测集, 1≤p<∞1 \leq p<\infty1≤p<∞, 记 Lp(E)L^{p}(E)Lp(E) 为 EEE 上可测且 p−p-p− 幂可积 (∫E∣x(t)∣pdt<∞)\left(\int_{E}|x(t)|^{p} d t<\infty\right)(∫E∣x(t)∣pdt<∞) 的函数 xxx 全体组成的空间, 其中几乎处处相等的函数视为同一元, 在通常加法和数乘下是一个线性空间，定义
∥x∥=(∫E∣x(t)∣pdt)1p,x∈Lp(E)\|x\|=\left(\int_{E}|x(t)|^{p} d t\right)^{\frac{1}{p}}, \quad x \in L^{p}(E) ∥x∥=(∫E∣x(t)∣pdt)p1,x∈Lp(E)
则 (Lp(E),∥⋅∥)\left(L^{p}(E),\|\cdot\|\right)(Lp(E),∥⋅∥) 是一个 (B)(B)(B) 空间 (1≤p<∞)(1 \leq p<\infty)(1≤p<∞) 。

Lp[a,b]L^p[a,b]Lp[a,b] 是可分的，进而对 ∀\forall∀ Lebesgue可测集E⊂RE\subset \mathbb{R}E⊂R，Lp(E)L^p(E)Lp(E)是可分的。（1≤p<∞1\le p<\infty1≤p<∞）

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