2021online普及组【吃豆人】O（4N）

笔者看到网上算法大多时间复杂度较高，故作此文提出O(N)方法。

2021online普及组【吃豆人】题解

这道题看到，首先想的肯定是一个个找，暴力。

能拿到20分左右的好成绩

但是在画草稿时，把全部路径写出来，就能看到这样一幅图：

然后，就看着，其实有效的路径就只有第一排的那N个点所连接的路径。而且，每个点所连的路径数量<=2条。

而且这些路径都有个特殊性：除了对角线外，第一行每个点向左下or右下延伸的路径最终都会回原位，并且所经过的位置重合。

也就是说，任意一个点它所连接的任意一条路径都会经过第一排。

紧接着想到，在每输入一个a[i][j]这个点时，可以通过一个公式来确定它所连接的一或两条路径开头的列数。（现在我定义：开头都为第一排的点）

于是乎，产生了这么两个函数：

int fleft(x,y) 代表返回第x行y列的点向左延伸（有的不能延伸）所连接的开头列数。

例如这个图上的绿点的返回值为1，即它所连接开头的列数为1列，而在（2,1）的点则为-1，因为它无法向左延伸。

还有一种情况，就是i，j这个位置回到开头需要反弹（拐弯），比如（3,2）这个地方。我们可以看到，它是向上延伸了i-1条线段才到达1行。而它在反弹前走了j-1条线段。

i-1-(j-1)

即一共要走的i-1条线段减去反弹前的j-1条线段就是反弹后走的线段条数。

然后发现，反弹后走的线段条数+1等于开头的列数。还是比如（3,2），它反弹后是走了一条线段，就是1+1=2列。

这是很重要的一个反弹公式：反弹后的开头列数=（i-1）-（j-1）+1

至于怎么判断是反弹还是直接一条线到嘛，就很简单，单独判断i和j的大小关系就行了。我这里采用了保险一点的策略。随你便。

同理，我们可以增加一个int fright(x,y)函数，来返回它所连接的右边的点：

公式已经讲了，fright函数的公式都一个思路。

int fleft(int x,int y)
{if(x==1) return y;if(y==1) return -1;if(y-(x-1)>=1) return y-(x-1);return (x-1)-(y-1)+1;
}
int fright(int x,int y)
{if(x==1) return y;if(y==n) return -1;if(y+(x-1)<=n) return y+(x-1);return n-(x-1-(n-y));
}

f[x]表示第一行第x列的开头的所有豆子数（就是每个开头唯一路径上所有的豆子和）

这样子，我们就可以在输入的时候，把每个点所连接的1~2条路径的开头加到f[]数组

1<=i<=n1<=j<=nscanf(a[i][j]);if(i==1) f[j]+=a[i][j];else{int xx=fleft(i,j),yy=fright(i,j);if(xx!=yy){if(xx!=-1) f[xx]+=a[i][j];if(yy!=-1) f[yy]+=a[i][j];}else f[xx]+=a[i][j];}

所以第一个吃豆人的吃豆数量就为1<=i<=n Max(f[i])

第二个吃豆人的数量也不麻烦，题目说了，吃过的豆不能再吃。

这个题目中的模拟诞生——先确定第一个吃豆人开始吃的行列（就是f[]中最多豆子数的下标），开始模拟路径。每吃到一个豆，向左边延伸的路径和向右边延伸的路径所到达的开头-=a[x][y]

然后写函数体：

void dg(x,y,fx)//行、列、方向
{int l=fleft(x,y),r=fright(x,y);//找到相应开头if(l!=-1) f[l]-=a[x][y];if(r!=-1&&r!=l) f[r]-=a[x][y];//减去豆子a[x][y]=0;//没啥屁用if(c!=0)//由于第一次的起始位置和结束位置相同，所以定义个c标记是否出发{if(x==n||x==1){if(y==1||y==n) return ;//边角if(fx==2) fx=3;else if(fx==1) fx=4;else if(fx==3) fx=2;else if(fx==4) fx=1;}else if(y==n||y==1){if(x==1||x==n) return ;//边角if(fx==2) fx=1;else if(fx==1) fx=2;else if(fx==3) fx=4;else if(fx==4) fx=3;}}x+=bz[fx][0];y+=bz[fx][1];//更改xy坐标if(x==sx&&y==sy&&c==1) return ;else{c=1;dg(x,y,fx);}
}

现在每个开头的豆子数都减去了已经被吃的了，所以——

第二个吃豆人的吃豆数量就为为Max(f[i])1<=i<=n

算上递归和两次取最大，时间复杂度不超过O(4N)，算是一个比较快捷的方式。

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,a[1005][1005],f[1005],sx=1,sy,sf,c,bz[5][2]={{0,0},{1,-1},{1,1},{-1,1},{-1,-1}},t1=-1,t2=-1;
int fleft(int x,int y)
{if(x==1) return y;if(y==1) return -1;if(y-(x-1)>=1) return y-(x-1);return (x-1)-(y-1)+1;
}
int fright(int x,int y)
{if(x==1) return y;if(y==n) return -1;if(y+(x-1)<=n) return y+(x-1);return n-(x-1-(n-y));
}
void dg(int x,int y,int fx)
{int l=fleft(x,y),r=fright(x,y);if(l!=-1) f[l]-=a[x][y];if(r!=-1&&r!=l) f[r]-=a[x][y];a[x][y]=0;if(c!=0){if(x==n||x==1){if(y==1||y==n) return ;if(fx==2) fx=3;else if(fx==1) fx=4;else if(fx==3) fx=2;else if(fx==4) fx=1;}else if(y==n||y==1){if(x==1||x==n) return ;if(fx==2) fx=1;else if(fx==1) fx=2;else if(fx==3) fx=4;else if(fx==4) fx=3;}}x+=bz[fx][0];y+=bz[fx][1];if(x==sx&&y==sy&&c==1) return ;else{c=1;dg(x,y,fx);}
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[i][j]);if(i==1) f[j]+=a[i][j];else{int xx=fleft(i,j),yy=fright(i,j);if(xx!=yy){if(xx!=-1) f[xx]+=a[i][j];if(yy!=-1) f[yy]+=a[i][j];}else f[xx]+=a[i][j];}}}for(int i=1;i<=n;i++)if(f[i]>t1){t1=f[i];sy=i;}if(sy==1) sf=2;if(sy==n) sf=1;if(sy>1&&sy<n) sf=1;dg(sx,sy,sf);for(int i=1;i<=n;i++) if(f[i]>t2) t2=f[i];printf("%d",t1+t2);return 0;
}

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