GIS基本功 | 14 地图投影及其相关概念
地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把三维的球面转化成二维的平面。
把地面上事物的位置表达在二维平面上有多种方法，古代的风景绘画、现代的摄影技术均可以在一定程度上反映出地物的相对位置，但是这些方法最大的问题是没有数学法则支撑，无法进行方位测量、距离量算等空间分析。
01 地图投影
地图投影，是指按照一定的数学法则将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面的地理坐标与平面直角坐标(x, y)建立起函数关系，是绘制地图的数学基础之一。
地图投影的目的是将不可展的球面投影到一个可展的平面上，然后将该曲面展开成一个平面，来保证空间信息在地域上的连续性、完整性和可测度性。根据美国著名地图投影专家J.P.Snyder统计，世界上地图投影的种类有250多种。
根据所采用的数学法则不同，投影方法可分为几何透视法和数学解析法。
几何透视法
几何透视法源于几何透视原理，以几何特征为依据，将地球上的经纬网投影到可以展开的平面（如圆锥、圆柱等）上。
为了便于理解几何透视原理，想象地球是一个表面透明的球体，其上绘有经纬网，用一张巨大的纸（称为投影曲面）包裹地球，假设有一个位于地心处的光源穿过地球将经纬网投影到这张纸上，然后用剪刀沿着某条线将纸剪开、铺平，就可以得到一幅地图。
几何透视投影法有一定的局限性，表现在精度较低，不易控制投影变形，适用于比较简单的投影。
数学解析投影
数学解析投影利用笛卡尔提出的解析几何理论直接确定球面上某点的地理坐标与平面上对应点的直角坐标之间的函数关系，该方法可以较好控制投影变形，适用于比较复杂的投影。
大多数的数学解析投影是在几何透视投影的基础上，建立球面与投影面之间点与点的函数关系的，因此两种投影方法有一定联系。
常见的数学解析投影有伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影（彭纳投影）和多圆锥投影，这些投影的具体特性将在后续章节中详细介绍。
02 地图投影的变形
从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面，要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱，使地物和地貌变得不连续和不完整，就像用一把刀将足球割开，压成平面，将会看到很多空隙和褶皱一样。
地图投影的作用是利用数学法则，将裂开或褶皱的部分拉伸或压缩，以消除裂缝和褶皱。在拉伸和压缩的时，地图上的图形与地球体的相应地物失去了相似性，从而产生了变形。由球面向平面投影时引起的经纬网几何特性的变化，称为地图投影变形。
地图投影的变形主要体现在：长度变形、角度变形和面积变形。
投影变形最典型的例子是墨卡托投影下，格陵兰岛的面积几乎与非洲面积相当，实际上，格陵兰岛只有非洲的十四分之一，相当于一个面积中等的国家。
我们来看看与投影变形有关的几个概念。
变形椭圆
通常，人们使用变形椭圆来直观地表达投影变形的情况。假设地面（地球椭球体面）是一个微小的无穷小圆（称微分圆），在投影中发生变形后，往往不能保持为圆形，而是一个椭圆，称为变形椭圆。
下图是等角、等距、等积三种投影的变形椭圆从赤道到两极的形状变化：
等变形线
等变形线是投影中某种变形相等的点的轨迹线。
在变形分布较复杂的投影中，难以绘出许多变形椭圆，或者列出一系列变形值来描述图幅内不同位置的变形变化状况，于是计算出一定数量的经纬线交点上的变形值，再利用插值的方法绘制出一定数量的等变形线以显示此种投影的变形分布及变化规律。
这是在制图区域较大而且变形分布较复杂时经常采用的一种方法。
等变形线在不同的投影上，具有不同的形状。例如在方位投影中，因投影中心点没有变形，从投影中心向外变形逐渐增大，因此等变形线为同心圆状分布。
等变形线通常用点虚线来表示。
标准纬线
标准纬线是地图上经投影后保持无变形的纬线。
正轴圆锥投影和正轴圆柱投影中，当圆锥面或圆柱面与地球椭球体相切时，有一条标准纬线，相割时，有两条标准纬线。方位投影中，标准纬线即为割纬线（或割等高圈）。
03 地图投影的分类
到目前为止，国际上还没有一个对地图投影统一的分类标准，一般教科书采用按照变形性质和构成方法对其进行分类。
1、按照变形性质，可分为等角投影、等积投影、任意投影。
等角投影
等角投影在投影面上任何位置两个方向线的夹角和地球椭球面上相应的方向线夹角相等，对应面保持图形的相似，所以又称为正形投影。
等角投影的特点是：
变形椭圆投影后形状保持不变，仍为圆形。
经纬线投影后保持正交。
地面（椭球面）上任一方向的方位角投影前后保持相等。
等角投影没有角度变形，而面积变形最大。该投影主要是依靠增大面积变形而达到保持角度不变（即图形相似）。
由于这种投影无角度变形，便于图上量测方向/角度，所以常用于对真实角度和方向要求高的地图，比如航海、洋流和风向图等。由于此类投影面积变形很大，故不能量算面积。
等积投影
在投影面上任意一块图形的面积与椭球面上相应的图形面积相等， 即面积变形等于零，通常会伴随角度、形状等属性发生变形。
等积投影的特点是：
在等积投影中，为了保证投影后面积不变，变形椭圆的长轴越长，短轴越短，导致角度变化很大，使得图形的形状也发生很大的变化。
等积投影没有面积变形，但是角度变形最大，即该投影主要依靠增大角度变形而保持面积相等。
等积投影没有面积变形，便于面积的比较和量算，常用于对面积精度要求较高的自然和经济地图，如地质、土壤、土地利用、行政区划等地图。
任意投影
任意投影长度、面积和角度都有变形的投影。
在任意投影中，有一种比较常见的等距投影(equidistance projection)，定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为1。
任意投影多用于要求面积变形不大、角度变形也不大的地图，如一般参考用图和教学地图。
2、按照投影面不同，可分为圆锥投影、圆柱投影和平面投影。
圆柱投影
以圆柱面作为投影面，把地球上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿着圆柱面的一根经线剪开展成平面，就得到圆柱投影。
圆柱投影一般适用于编制赤道附近地区的地图和世界地图，该类别下拥有众多常用投影，如墨卡托投影、高斯-克吕格投影、UTM投影等。
圆锥投影
假定以圆锥面作为投影面，使圆锥面和地球体相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面沿着一条经线剪开展为平面而成。
常见的圆锥投影有Lambert（正轴等角割圆锥）投影、Albers（正轴等积割圆锥）投影，该投影适用于中纬度地带沿纬线方向伸展地区的地图，我国的地图多用此投影。
平面（方位）投影
平面投影也称为方位投影或天顶投影，是以平面作为投影面，使平面与地球表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。
方位投影主要用于制作两极地区图。
3、按照球面与投影面的相对位置，可分为正轴投影、横轴投影和斜轴投影
正轴投影
对于平面投影而言，正轴平面投影为投影面与地轴垂直。对于圆柱或圆锥投影而言，正轴投影则圆柱轴或圆锥轴与地轴重合。
横轴投影
横轴方位投影指投影面与地轴平行，横轴圆柱投影和横轴圆锥投影指的是圆柱轴和圆锥轴与地轴垂直。
斜轴投影
斜轴方位投影指的是投影面与地轴斜交；斜轴圆柱投影和斜轴圆锥投影指的是圆柱轴和圆锥轴与地轴斜交。
04 地图投影小结
1、地图投影变形是球面转化成平面的必然结果， 没有变形的投影是不存在的。
对某一地图投影来讲， 不存在这种变形， 就必然存在另一种或两种变形 。但制图时可做到：在有些投影图上没有角度或面积变形；在有些投影图上沿某一方向无长度变形。
2、投影方式多种多样，一个国家或者地区依据自己所处的制图区域位置、形状和范围、地图的比例尺、内容、出版方式来选择地图投影。
3、有时在大比例尺地图中，各种投影带来的误差可以忽略不计。
关于地图投影及其相关概念就分享到这里，文中大多数内容为参考了各方教材、文献、网络资料整理而来，难免有疏漏之处，如有发现理解不到位的地方，欢迎留言指正。
参考资料：
[1] 地图投影 Map Projections，E.W.格拉法伦德等，ISBN 978-3-540-36701-7。
[2] 地图学原理与方法，王家耀，孙群等，ISBN 7-03-016498-9。
[3] 维基百科-地图投影：https://zh.wikipedia.org/wiki/地图投影。
[4] 百度百科-地图投影：https://baike.baidu.com/item/地图投影。
[5] https://www.whu-cveo.com/2018/07/26/coordinate-projection/ 。
[6] http://support.supermap.com.cn/datawarehouse/webdochelp/idesktop/features/dataprocessing/projection/AboutMapProjection.htm 。
[7] NNU_Group (2020). 任意投影, Concept & Semantic, OpenGMS, https://geomodeling.njnu.edu.cn/repository/concept/b8517263-7235-4848-9f6b-08269aea4405
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