纳什均衡及经典案例（2）

问题1，共享单车的模式赚钱并不快，几百亿的资金投入，到底要多少年能回本？为什么明明投入已经超过了预期回报，各路资金还是疯狂进入这个行业呢？

问题2，历史上两个国家即将交战，经常出现一个国家选择和解让步方式收场，偶尔和谈失败导致战争。这种现象有什么规律吗？怎么解释这种现象。

1，拍卖陷阱

现在银行拍卖20元纸币：

这20元是真币，但是并没有收藏价值
1元起拍，每次加价至少1元
出价最高的朋友会获得这20元
出价最高和出价次高的朋友都需要按照你的出价付款

我们一起来看这个问题，假设出价最高的人(甲）给的钱是x元, 出价次高的人(乙）给的钱是y元，即x>y。让我们来一起来关注这样几个时刻：

当x+y<20, 银行亏钱，甲赚钱，乙亏钱
当x+y =20，银行不赚不亏，甲赚钱，乙亏钱
当x+y>20, 且x<=20, 银行赚钱，甲赚钱，乙亏钱
当x+y>20, 且x>20, 银行赚钱，甲亏钱，乙亏钱

根据上面几个时刻的分析，我们可以很清楚的看到，当只要有至少2个人参与游戏，银行赚钱的可能性最大。当两个人参与游戏时候，出价次高的人不论什么情况都是亏钱的，但是亏钱的多少，还是可以控制的。

比如，当x=3, y=2时候，甲赚17，乙亏2。但是乙把自己的价格提到x+1=4元，如果甲不变，乙就可以赚16元，甲亏3元，所以乙会选择提高报价。而同样，甲为了不亏钱，也会提高报价，这样就形成了甲乙的报价逐渐递增的现象。当x=20,y =19时候，对甲来说，不赚不亏，但是对乙来说，如果把报价提高到21，就能从亏19元转变到亏1元，所以乙会提高报价，如此以来，甲乙就会从最开始的让自己赚钱的想法，变为让自己少亏钱的目的，从而不断加大报价，最终银行赚的盆满钵满。

x	1	3	...	11	13	...	19	21	23	...
y	—	2	...	10	12	...	18	20	22	...
最高价者盈利	+1	+17	...	+9	+7	...	+1	-1	-3	...
次高价者盈利	—	-2	...	-10	-12	...	-18	-20	-22	...

如上表，次高出价者一旦加入游戏，只有不断加钱让自己称为最高出价者，才有可能反亏为为赢，反多亏钱到少亏，所以这两个游戏者都不会停下加钱，都期望让对方停止加钱，其实他们心里明白，自己已经不可能再赚到钱了。

回到开头的问题1，共享单车也好，各种融资企业也好，也会遇到这样的问题，他们明明知道这条路已经走不通了，但是为什么还要坚持下来，因为他们希望把其它的行业竞争者挤走，他们还可以享受这个蛋糕，从而减少自己的亏损。

2，简单的游戏，围棋或者象棋的输赢

A，B两个人做游戏，他们都有2个选择，上路或者下路，规定输赢如下，如果A，B两人都足够聪明，这个游戏的结果就是和棋。

A先选B后	B选上路	B选下路
A选上路	A胜	B胜
A选下路	A胜	和棋

分析如下：

当A走上路时候，B决定了游戏的胜负，B会选择对自己有利的，所以B胜。

当A走下路时候，B为了不输，会选择走下路，最终和棋。

所以，对先做决策的A来说，选择走下路，最终和棋的结果是对他最有利的，所以他会选择走下路。A改变策略，A就会输，B改变策略，B就会输，所以游戏的最终走向就是和棋。双方都没有改变自己策略的动力，那么这个和棋的点，就成为一种平衡状态。这就是纳什均衡。

策梅洛定理：对于一个两人的完全信息游戏，一定存在一个策略，要么先手一定获胜，要么后手一定获胜，要么双方一定平局。

象棋或者围棋理论上也可以确定先手或者后手的输赢，但是实际没人能够算出来谁赢，主要是因为他们的状态太多了。比如围棋，19*19=361个点位，每个点位有黑棋，白棋，不放3中状态，一共有3**361种状态。假设每盘围棋平均150步，每步有250个状态, 250**150 ≈ 10**360，超级计算机每秒计算10**18，用超级计算机机计算需要10**342s=秒才能找到那个最优策略，但是宇宙从形成到现在138亿年，也只有10**17秒。所以没有任何一个计算机，能够把一个围棋的所有情况算准，我们也就不知道围棋的套路是什么。

纳什定理：只要参与博弈的几方策略都是有限的，那么就一定存在一种平衡状态，大家都会采用这种平衡策略，而没有单方面改变策略的动力。这种平衡状态就叫做纳什均衡。

策梅洛定理是纳什均衡定理的一个推论。

3，交通拥堵现象的纳什均衡思考

马路上经常出现交通拥挤的现象，每个司机就会这样考虑，如果其它车都按规矩走，我加塞，对我是有利的。如果其他车不按规矩走都加塞，我加塞，对我也是有利的，要不然我就过不去了。所以，就导致了不管别人是不是加塞，我都应该加塞，对我是有利的，就形成了一个囚徒困境。

怎么解决这个问题呢？惩罚加塞的人或者奖励那些遵守规矩的人。

我们的道德和法律就可以形成这种约束，谴责破坏规矩的人，对于严重违法的人，用法律去制裁他。我们要知道，一旦你做出了对自己有利，但对其他人不利的行为，造成了整个社会，偏向了那种不好的纳什均衡，你必将会受到惩罚，你的代价会变大，这样整个个人的最优解就变成了社会的最优解。所以纳什均衡不一定是社会最优解，但是我们可以通过一种变换，把它转变为社会最优解。

4，胆小鬼博弈

1959年，罗素提出这样一个问题：两个人在一条车道上相对着开车，每个人都可以随时打方向盘驶出车道，最先驶出车道的人就会被对方嘲笑为胆小鬼，而一直在车道上狂飙的人就称为英雄。

这个问题的历史背景就是，1959年冷战期间，美国和苏联两个国家通过军事竞赛进行对抗。这个例子可以比喻美国和苏联，如果双方都不示弱，他们就会同归于尽了。

把这个问题数学化，通过博弈论来分析。A ，B 是这两辆车，示弱表示转向，不转向就是死磕。用数字表示不同选择的代价，-10表示A，B同归于尽，代价最大。当A，B一个死磕，一个示弱，分别用3,1代表各自的代价。

如下，当A死磕时候，B会选择对自己有利的方向，所以B会示弱，此时A收益3；当A示弱时候，不管B的作何选择，A的收益最好为2。所以A会选择死磕，这是一个纳什均衡点。同理，B做分析时候，也会选择死磕对自己最有利。所以这也是一个纳什均衡点。这个问题已经存在两个纳什均衡点。

双方都想让局势对自己更有利的方向发展，这个问题的关键点就是假如有一方选择死磕到底了，另外一方肯定会示弱，而不会选择同归于尽。所以如果希望对方让步，就应该表现自己的强硬态度。比如，你一上车，就把汽车方向盘给丢掉，给对方看到你的态度。这也是前面问题2现象的考虑了。

混合策略纳什均衡：

每一个人采用的策略，都必须让其他人无论采用什么策略，期望收益都相同。
纳什均衡点，包括纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡，绝大多数情况下都是奇数个。

胆小鬼博弈中，至少还有一个混合策略纳什均衡。在双方做决策的时候，只能先猜测对方做决策的概率，那么A示弱的概率x, B 示弱的概率y。

E(A) =（11-12*y）* x + 13*y -10，B调整y, 让E(A)与x无关，所以 y=11/12

E (B) = (11-12*x) * y +13*x -1，A调整x, 让E(B)与y无关，所以 x=11/12

所以A，B示弱的概率都是11/12, 死磕的概率都是1/12。如果A，B在不知道对方是示弱或者死磕的情况下达到的纯纳什均衡点外，还可以选择以11/12的概率去示弱，以1/12的概率去死磕，这样对自己是有利的。

当交战的两国双方都选择了1/12的概率死磕时候，事件发生的概率是1/144，这种情况下，两国发生战争。所以历史上经常看到一个国家死磕，一个国家示弱，偶尔会都选择死磕，爆发战争。这就是混合策略纳什均衡的问题。

李永乐老师：生活中的博弈论【中科院科学公开课S02EP29】_哔哩哔哩_bilibili