【trajectory optimization】1 intro

满足所有constraints 的是feasible solution可行解。admissible control 容许控制、可行控制。

轨迹优化是根据目标函数objective function 描述寻找最优轨迹optimal trajectory。

两种基本目标函数。

本文考虑单相、时间连续、动力学连续系统的轨迹优化问题

优化求解器根据调整decision variable 决策变量来最小化目标函数。
通常为始末时间、轨迹上的状态和控制量。

is subject to 优化受制于一系列限制约束：
动力学：随时间非线性变化的
路径：机器人走路时在地面上方
边界：行走机器人的周期性步态，限制始末状态
状态和控制量的常数项限制，关节角、速度、力矩等。

始末时间的状态限制，在时间窗口内到达目标状态。

优化问题:直接和间接解法

直接组合（配置）法direct collocation（直接转录法direct transcription）离散化轨迹转化为非线性微分方程组求解。

多项式样条函数曲线，多段多项式曲线连接。有限系数、根据系数容易微分积分。

trapezoidal 梯形组合
hermite-simpson 组合
（single shooting 、 multiple shooting 、 orthogonal 直角组合）

非线性方程的一般形式：目标函数和约束函数都是非线性

定义问题：从零到一，始末速度为零

解析解：

梯形积分求为微小位移

组合约束

非线性方程求解器需要initial guess 初始值？
初始值影响复杂问题的收敛性和解的优劣性。？

梯形组合法：

积分表达式，通常是目标函数，也可能是约束函数

系统的动力学用积分形式表述：

梯形组合将轨迹控制量和动力学量简化为分段线性函数。

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