BM3D 去噪算法原理解析与代码实现

BM3D 去噪算法是来自于这篇论文《Image Denoising by sparse 3-D Transform-Domain Collaboarative Filtering》。原文地址：

https://www.researchgate.net/publication/6151802_Image_Denoising_by_Sparse_3-D_Transform-Domain_Collaborative_Filteringhttps://www.researchgate.net/publication/6151802_Image_Denoising_by_Sparse_3-D_Transform-Domain_Collaborative_Filtering本文主要首先介绍BM3D算法的实现原理，然后会用代码对BM3D进行算法实现，观察BM3D算法的去噪效果。

一 BM3D算法解析

首先先介绍本算法中涉及到的两个基本概念：分组和协同滤波。

（1）分组

首先我们会对输入的噪声图像进行分块。会选取一些参考块，然后在一定范围内搜索待匹配块，计算待匹配块与参考块之间的相似性，根据相似性的多少进行分组。其中相似性的计算可以利用块之间距离的倒数来衡量，常用的距离包括欧式距离等。同事我们需要设定一个阈值，当相似性大于阈值的时候，才会将带匹配块入组。如下图1所示：

图1 来自带噪声的自然图像的块分组图示，每个片段标有“R”的位参考块，其余块为与其匹配的一些块。

(2) 协同滤波

给定一组n个片段，该组的协同过滤产生n次估计，每个分好组的片段一次。通常，这些估计可能不同。术语“协同”是从字面上理解的，即每个分好组的片段协同过滤其他片段，反之亦然。

考虑一个用协同滤波估计图2中的由加性零均值独立噪声破坏图片的说明性示例。特别的，关注同一图中所示的已经分组的块。这些块表现出完美的相互相似性，这使得元素平均成为合适的估计器。因此，对于每一个组，通过协同平均的方法就可以产生所有分组的估计。因为假设相应的无噪声块是相同的，所以估计是无偏的。因此，最终估计误差仅归因于与组中的块数成反比的残差方差。只要这些组包含大量片段，无论信号有多复杂，都可以获得很好的估计。

图2 在人工绘制的图像中分组的简单示例，其中基于每个参考快(带有粗边框)，存在完全相似的参考块

但是，在自然图像中不太可能存在完全相同的块。如果在同一组内允许估计不相同的片段，则通过元素平均获得的估计变得有偏差。除非使用允许对每个分组片段产生不同估计的估计器，否则偏差误差有可能占总体最终误差的最大份额。因此，应采用比平均更有效的协同过滤策略。

变换域中收缩的协同滤波

有效的协同滤波可以通过在变换域中的收缩来实现。假设已经形成了类似信号片段的d+1维组，则协同收缩包括以下步骤。

将d+1维线性变换应用于该组。
收缩(例如通过软阈值和硬阈值或维纳滤波)变换系数以衰减噪声。
反转线性变换以生成所有分组片段的估计值。

接下来就是介绍BM3D中的具体算法流程。

本文算法中，分组是通过块匹配实现的，而协同滤波是通过在3D变换域中收缩来实现的。使用的图像片段是固定大小的正方形块。该算法中执行的一般过程如下，通过从输入噪声中一次提取参考块并对每个这样的块进行处理：

查找与参考块相似的块（块匹配），并将它们堆叠在一起以形成3D阵列（组）
对群组执行协同过滤，并将获得的所有分组块的2D估计值返回到其原始位置。

在处理所有参考块之后，获得的块估计可能重叠，银簇每个像素有多个估计。我们汇总这些估算值已形成这呢个图像的估算值。此此通用过程以两种不同的形式实现，以组成一个两步算法。此算法在图3中进行了说明，其过程如下：

步骤1.初步估计

a) 块估算。对于嘈杂图像中的每一个块，清执行以下操作。

i) 分组。查找与当前处理块相似的块，然后将它们堆叠在一起形成3D数组。

ii) 协同性硬阈值。将3D变换应用于所形成的数组，通过变换系数进行硬阈值来衰减噪声，将3D变换反转以生成所有分组块的估计，并将这些块的估计返回到原始位置。

b) 聚集。通过对所有获得的重叠的块估计进行加权平均，计算出真实图像的初步估计值。

步骤2. 最终估计：基于初步估计，进行改进的分组和协同维纳滤波。

a) 块级估计。对于每个块，请执行以下操作。

i) 分组。在基本估算范围内使用BM查找与当前处理的块相似的块的位置。使用这些位置，形成两组(3D阵列)，一组来自于噪声图像，另一组来自于基本估计。

ii) 协同维纳过滤。在两个组上应用3D变换。使用关于真实能谱的基本估计值的能谱对有噪声的组进行维纳滤波。通过对滤波后的系数应用逆3D变换来生成所有分组块的估计，并将块的估计返回到其原始位置。

b) 聚集。通过使用加权平均值汇总所有获得的局部估计，计算出真实图像的最终估计。上面算法的第二步有两个重要动机：

使用基本估计我不是嘈杂的图像可以通过块匹配来改善分组

使用基本估计作为经验维纳滤波的导频信号比对噪声数据的3D频谱进行简单的硬阈值处理要有效和准确的多。

图3 本文提出的图像去噪算法的流程图。对于每个处理的块(标记为“R”)重复用虚线包围的操作。

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