《信号与系统学习笔记》—信号与系统的时域和频域特性（二）
注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。
一、一阶与二阶连续时间系统
一）、一阶连续时间系统
1、对于一个一阶系统，其微分方程往往表示成下列形式：
区中t是一个系数。相应的一阶系统的频率响应是
其单位冲激响应是
系统的阶跃响应为
这些都分别回执图6.19)a)和图6.19(b)中。参数t称为系统的时间常数，它控制着一阶系统响应的快慢。
2、图6.20画出了式(6.22)频率响应的伯德图。这幅图体现了使用对数频率坐标的一个优点，这就是没有多大困难难就可以德奥一阶系统一个很有的近似伯德图。
为此，频率响应的对数特性，由式（6.22）可得
从该式可见，对于wt<<1，对数近似为零；而对于wt>>1,对数模就近似为的线性函数。也就是说
和
换句话说，一阶系统其对数模特性在第频和高频与的渐进线都是直线。低频渐进线[由式(6.26)给出]就是一条0dB线；而高频渐进线[由式(6.27)给出]相应于在|H(jw)|上每隔十倍频程有20dB的衰减，有事这就成为“没十倍频程20dB”渐进线。
注意由式(6.26)和式(6.27)所表示的这两条渐进线在这一点，也即w=1/t这一点是相等的。由图来看，这就意味着两条渐进线应在w=1/t相交，这样就提供了对数模特性图的一种直线近似。这就是，对于w≤1/t，而对于w≥1/t，则由式(6.27)给出。
由于在w=1/t这一点，近似特性的斜率发生变化，因此这一点往往就称为转折频率。同时，由式(6.25)可知，在w=1/t这一点，式中对数内的两项相等，所以在这一点的实际值为
由于这个原因，w≥1/t这一点有时称为3dB点。
3、对也能求得一个有用的直线近似为
可以注意到这条近似特性作为的函数，在
范围内是线性下降的(从0到-π/2)，也就是说在转折频率上下各有一个十倍频程的范围内。同时，在w≥1/t时，的准确近似值就是-π/2。再者，在转折频率出w=1/t处，的近似值与真正值是一致的，其值为
4、从上面的一阶系统可以再次看到时间和频率之间的相反关系。当t减小时，就就加速了系统的时间响应，即h(t)变得更向原点压缩阶跃响应的上升时间就减小了；榆次同时，转折率升高，即的频率范围更宽，H(jw)就变宽了。
二）、二阶连续时间系统
1、二阶系统的线性常系数微分方程的一般形式为
其二阶系统的频率响应是
将H(jw)的分母因式化后，得
其中
若，进行部分分式展开得到
其中
由式(6.35)，系统的单位冲激响应为
如果这是有
此时的单位冲激响应为
参数称为阻尼系数，称为无阻尼自然频率。首先由式(6.35)看出，当0<<1是，c1和c2都是复数，因此将式(6.37)的单位冲激响应写成
因此对于0<<1，二阶系统的单位冲激响应就是一个耍贱的振荡。这时系统称为欠阻尼的。如果>1，则c1和c2都是实数，并且是负的，单位冲激响应就是两个衰减的指数之差，这时系统称为过阻尼的。当=时，c1=c2，这时系统称为临街阻尼的。
4、对于≠1，二阶系统的阶跃响应可由式(6.37)算出，其表达式是
对于=1，利用式(6.39)可得
5、由式(6.33)可得
从这个表达式可以到处搞、第频率两条线性渐近线为
因此，对数模特性的低频渐近线是0dB线，而高频渐近线则有一个每隔十倍频程-40dB的斜率；也就是说，当w没增加10倍是，|H(jw)|就下降40dB。另外，两条渐近线在w=wn处相交。因此得出，对w≤wn，可以利用式(6.44)给出的近似，对对数模特性切得一个直线渐近线近似。为此，wn称为二阶系统的转折频率。
另外，也能求得的一个直线近似，的准确表达式可由式(6.33)得到
对的近似式是
三）、有理型频率响应的伯德图
1、对于具有如下频率响应形式
和
的伯德图就能很快得到，因为
且
同时，对于系统函数为恒定增益的系统
因为，若K>0则；若K<0则，所以
因为一个有理型频率夏官营可以按因式分解为一个恒定1增益和一阶、二阶项的乘积，所以它的伯德图就能由乘积中每一次昂的伯德图相加得到。
二、一阶与二阶离散时间系统
1、考虑由如下差分方程描述的一阶因果线性时不变系统
其中|a|<1.该系统的频率响应为
其单位脉冲为
同时，该系统的阶跃响应为
这么参数a的模|a|很类似于连续时间一阶系统中的时间常数t的作用，即|a|决定了一阶系统响应的速率。值得注意的事，与一阶连续时间系统不同，由式(6.51)索取定的一阶系统可以呈现出振荡的特性。这发生在a<0时，在这种情况下，阶跃响应即呈现出超量，又呈现出振荡特性。
2、由式(6.51)描述的一阶系统频率响应的模和相位分别是
和
当a>0时，系统呈现出高频衰减的特性，即|H(ejw)|在w接近-+π时的值比w接近0时的值小；二当a<0时，系统对高频分量较大，而对低频分量衰减。同时，也注意到，对于较小的|a|值，|H(ejw)|的最大值1/(1+a)和最小值1/(1-a)在数值上就逐渐靠近，因此|H(ejw)|的变化就相对平坦。另一方面，在|a|接近于1时，这两个值就相差很大，|H(ejw)|呈现出更为陡峭的峰值，这样就在一个较宽的频带内提供了具有良好选择性的滤波和放大。
二）、二阶离散时间系统
1、考虑一个二阶因果线性是不变系统，其差分方程为
其中0<r<1，该系统的频率响应是
上式的分母可以因式分解，从而得
1）、当不等于0或π时，这两个因式是不同的，利用部分分式展开可得
其中
这时系统的单位脉冲响应是
2）、当等于0或π时，式(6.58)分母的和两个因式相同。当=0时，
且
当=π时，
且
可看到，h[n]的衰减速率收r的控制，即r越接近1，h[n]衰减得越慢。类似的，值决定振荡频率。不同的r和值得影响也可以从式(6.57)的阶跃响应中看到。
当不等于0或π时，
同时，对=0，可以求得
对=π，可以求得
2、由式(6.57)给出的二阶系统就是相应连续时间系统前阻尼下的二阶系统，而=0的特殊情况就是临街阻尼情况。这就是说，对于任何不等于零或值，单位脉冲响应都有一个衰减振荡的特性，阶跃响应则呈现超量和起伏。
3、由式(6.59)定义的二阶系统具有复数系数因子(除非等于0或π)。但是二阶系统也可能具有实系数因子。下考虑如下H(ejw)
其中d1和d2都是实数，且|d1|和|d2|都小于1.式(6.70)就是下列差分方程的频率响应
在该情况下
其中
由此
这时两个衰减的实指数序列之和。同时
4、这一届仅仅福安心那些稳定的因果一阶和二阶系统，叶即频率响应是由定义的一阶和二阶系统。特别是，由式(6.51)定的因果系统，在|a|≥1时是不稳定的；同时，由式(6.56)定义的因果系统，在r≥1时也是不稳定的，而由式(6.71)定义的因果系统，在|d1|和|d2|中有一个超过1时也是不稳定的。
《信号与系统学习笔记》—信号与系统的时域和频域特性（二）相关推荐
- linux系统学习笔记6——debian系统分屏操作（亲测）
debian系统分屏 刚插上HDMI链接屏幕后,发现两个屏幕是复制的效果 `步骤` xrandr | grep connecteda 1.查看现有的屏幕型号 由上图可以看到,一个是eDP-1 分辨率1 ...
- 【信号与系统学习笔记 3】—— 系统，以及系统的性质以及判断方法解析
文章目录 一.系统的分类 二.系统的性质 2.1 记忆性和无记忆性 2.2 可逆性与可逆系统 2.3 稳定性 2.4 因果性 2.5 时不变性 2.7 线性性 一.系统的分类 其实,系统的分类无非就是 ...
- 【六更完结！由于字数限制开新文章继续】零基础信号与系统学习笔记：复指数信号、傅里叶级数的系数推导、三角函数正交性、离散傅里叶变换、相位补偿、z变换表、逆变换表、常见序列及其作用
零基础信号与系统学习笔记:复指数信号.傅里叶变换.三角函数正交性 基础1:复指数信号 复指数信号基础知识 复指数信号推导1 虚指数信号 虚指数信号特性和作用 直流信号 基础2:傅里叶级数 推导傅里叶级 ...
- Dubbo -- 系统学习 笔记 -- 示例 -- 参数验证
Dubbo -- 系统学习 笔记 -- 目录 示例 想完整的运行起来,请参见:快速启动,这里只列出各种场景的配置方式 参数验证 参数验证功能是基于JSR303实现的,用户只需标识JSR303标准的验证 ...
- Dubbo -- 系统学习 笔记 -- 示例 -- 服务分组
Dubbo -- 系统学习 笔记 -- 目录 示例 想完整的运行起来,请参见:快速启动,这里只列出各种场景的配置方式 服务分组 当一个接口有多种实现时,可以用group区分. <dubbo:se ...
- Dubbo -- 系统学习 笔记 -- 示例 -- 只订阅
Dubbo -- 系统学习 笔记 -- 目录 示例 想完整的运行起来,请参见:快速启动,这里只列出各种场景的配置方式 只订阅 问题 为方便开发测试,经常会在线下共用一个所有服务可用的注册中心,这时,如 ...
- Linux学习笔记之——Linux系统内部相关介绍
Linux学习笔记之--Linux系统内部相关介绍 摘要:主要记录一些比较有用的能够帮助理解和使用Linux的知识.比如一些相关概念.没兴趣的看看就好.知道有这么个东西.注意事项.和一些常用目录的作用 ...
- django系统学习笔记
转自:http://hi.baidu.com/derris/item/7ca6013e330563fede2221ab 2010-02-07 00:12 django系统学习笔记--(1)hello ...
- linux系统学习笔记9——CANOpen状态转换
CANopen CANopen状态转换 CANopen状态转换 从节点上电和内部初始化之后自动进入预损作状太(Pre-operational State),在进入预操作之前,发送标准的启动对象(Boo ...
- STM32F103学习笔记四 时钟系统
STM32F103学习笔记四 时钟系统 本文简述了自己学习时钟系统的一些框架,参照风水月 1. 单片机中时钟系统的理解 1.1 概述 时钟是单片机的脉搏,是单片机的驱动源 用任何一个外设都必须打开相应 ...
最新文章
- 今天没有浪费时间，我努力了
- 为什么不建议用 equals 判断对象相等？
- FBI再度要求苹果协助为波士顿黑帮成员的iPhone解锁
- 图解SQL Server 存储过程教程一
- XWork ParameterInterceptor类绕过安全限制漏洞-解决1
- php 数据库 加载图片,图片显示不出来，但是数据库里有显示
- mysql libs 5.1.71_用python创建数据库监控平台(1)安装MySQL5.7
- POSIX风格正则表达式
- 【转】Word 2010 取消拼写/语法检查，隐藏红线/绿线
- 关于Java中static关键字的用法以及从内存角度解析
- python能编游戏吗_python能做游戏吗
- 添加class值_Java 虚拟机(二) - Class 文件结构
- 【辨异】relation, relationship
- 【坐标标注】点坐标标注插件使用手册，可支持批量标注
- Linux下安装宋体以及微软雅黑字体
- ccf csp 题目：门禁系统
- 如何培养孩子的阅读兴趣
- 轻松认识HTTP协议的概念和工作原理
- ESD门禁管理系统方案
- 中国杀软套路深：CIA怼遍全世界竟然干不过它