最小二乘法拟合直线-C++实现

最近公司的一个项目需要计算TVDI（Temperature Vegetation Dryness Index ，温度植被干旱指数），TVDI的计算公式如下（具体原理自行百度）：

$TVDI = \frac{Lst - Lst_{min}}{Lst_{max} - Lst_{min}}$

其中， $Lst$ 为任意像元的地表温度； $Lst_{min}$ 为某一NDVI对应的最小地表温度，对应的是湿边 $Lst_{min} = a*NDVI + b$ ； $Lst_{max}$ 为某一NDVI对应的最大地表温度，对应的是干边 $Lst_{max} = c*NDVI + d$ ；a，b为湿边的拟合方程系数，c，d为干边的拟合方程系数。

在拟合干边和湿边的过程中，需要利用最小二乘方法来对有效的NDVI和Lst数据来进行线性拟合。因此，本文记录在工作中用C++实现的最小二乘拟合直线，关键是理解最小二乘拟合直线的基本原理，实现起来比较简单。具体的最小二乘原理再此不做过多的阐述，网上有大量的介绍资料，这里只给出形如 $y = a*x + b$ 的线性回归计算a，b系数以及r^2的最终计算公式，相关代码如下：

/*************************************************************************最小二乘法拟合直线，y = a*x + b; n组数据; r-相关系数[-1,1],fabs(r)->1,说明x,y之间线性关系好，fabs(r)->0，x,y之间无线性关系，拟合无意义a = (n*C - B*D) / (n*A - B*B)b = (A*D - B*C) / (n*A - B*B)r = E / F其中：A = sum(Xi * Xi)B = sum(Xi)C = sum(Xi * Yi)D = sum(Yi)E = sum((Xi - Xmean)*(Yi - Ymean))F = sqrt(sum((Xi - Xmean)*(Xi - Xmean))) * sqrt(sum((Yi - Ymean)*(Yi - Ymean)))**************************************************************************/
void LineFitLeastSquares(float *data_x, float *data_y, int data_n, vector<float> &vResult)
{float A = 0.0;float B = 0.0;float C = 0.0;float D = 0.0;float E = 0.0;float F = 0.0;for (int i=0; i<data_n; i++){A += data_x[i] * data_x[i];B += data_x[i];C += data_x[i] * data_y[i];D += data_y[i];}// 计算斜率a和截距bfloat a, b, temp = 0;if( temp = (data_n*A - B*B) )// 判断分母不为0{a = (data_n*C - B*D) / temp;b = (A*D - B*C) / temp;}else{a = 1;b = 0;}// 计算相关系数rfloat Xmean, Ymean;Xmean = B / data_n;Ymean = D / data_n;float tempSumXX = 0.0, tempSumYY = 0.0;for (int i=0; i<data_n; i++){tempSumXX += (data_x[i] - Xmean) * (data_x[i] - Xmean);tempSumYY += (data_y[i] - Ymean) * (data_y[i] - Ymean);E += (data_x[i] - Xmean) * (data_y[i] - Ymean);}F = sqrt(tempSumXX) * sqrt(tempSumYY);float r;r = E / F;vResult.push_back(a);vResult.push_back(b);vResult.push_back(r*r);
}

为了验证该算法的有效性，给出如下测试数据，数据来源为某论文的实验数据：

float pY[25] = { 10.98, 11.13, 12.51, 8.40, 9.27,8.73, 6.36, 8.50, 7.82, 9.14,8.24, 12.19, 11.88, 9.57, 10.94,9.58, 10.09, 8.11, 6.83, 8.88,7.68, 8.47, 8.86, 10.38, 11.08 };float pX[25] = { 35.3, 29.7, 30.8, 58.8, 61.4,71.3, 74.4, 76.6, 70.7, 57.5,46.4, 28.9, 28.1, 39.1, 46.8,48.5, 59.3, 70.0, 70.0, 74.5,72.1, 58.1, 44.6, 33.4, 28.6 };

该数据在Excel的拟合结果为 $y = -0.079*x + 13.62$ ，其中 $r^{2} = 0.715$ 。

第一次发CSDN博客，不足之处请各位多多指教。

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