机器人学基础–左乘和右乘

心得记录

变换矩阵的左乘和右乘的运动解释是不同的：变换顺序「从右向左」，指明运动是相对固定坐标系而言的；变换顺序「从左向右」，指明运动是相对运动坐标系而言的

结论：相对 基准坐标系 做变换是左乘，相对 当前坐标系 做变换是右乘

左乘和右乘的概念

存在一坐标系{A}，坐标系{A}进行齐次坐标变换，得到{B}，此时的变换矩阵 TBAT_B^ATBA；坐标系{B}再进行一次齐次坐标变换，得到{C}，此时的变换矩阵为 TCA=TCBTBAT_C^A = T_C^BT_B^ATCA=TCBTBA 时称为左乘，为 TCA=TBATCBT_C^A = T_B^AT_C^BTCA=TBATCB 时称为右乘。

变换矩阵的由来

坐标系{A}中的一矢量 ppp，记此时 ppp 为 p0p_0p0（p0p_0p0 与坐标系{A}固连）；p0p_0p0经过坐标系{A}的变换得到坐标系{B}后，相应的得到一个新位置，记此时 ppp 为 p1p_1p1（p1p_1p1 与坐标系{B}固连，注意 p1p_1p1 在坐标系{B}中的坐标值就是 p0p_0p0）；p1p_1p1经过坐标系{B}的变换得到坐标系{C}后，也相应的得到一个新位置，记此时 ppp 为 p2p_2p2（p2p_2p2 与坐标系{B}固连，注意 p2p_2p2 在坐标系{B}中的坐标值也是 p0p_0p0）。

变换矩阵 TBAT_B^ATBA 的含义是坐标系{A}变换到坐标系{B}的变换矩阵（并没有提到变换的方式），但这里有一个问题（左乘和右乘区别的来源）：TBAT_B^ATBA 是怎么计算的？——TBA=[RBAPBoA01]T_B^A = \left[ \begin{matrix} R_B^A & P_{B_o}^A \\\ 0 & 1\end{matrix} \right]TBA=[RBA 0PBoA1]，其中的 RBAR_B^ARBA 与 PBoAP_{B_o}^APBoA 的计算直接导致了左乘和右乘。

以旋转矩阵为例，在坐标系{B}变换到坐标系{C}的过程中，RBA=Rot(x,θ)R_B^A = Rot(x,\theta)RBA=Rot(x,θ) 中 xxx 的来源（坐标系{A}？坐标系{B}?）

现给出 p1=Rot(x,θ)p0p_1 = Rot(x, \theta) p_0p1=Rot(x,θ)p0（没有进行平移变换），其中 x 轴是指坐标系{A}中的 x 轴。

注意上式中各个变量的意义：

p1p_1p1：矢量 ppp 变换后的坐标
p0p_0p0：矢量 ppp 变换前的坐标（原坐标）
Rot(x,θ)Rot(x, \theta)Rot(x,θ)：以矢量 p0p_0p0（原坐标）所在的坐标系的轴为旋转轴进行旋转（角度为 θ\thetaθ）

也就是说 TBAT_B^ATBA 的基准坐标系是坐标系{A}（原坐标系）

左乘与右乘

坐标系{B}变换到坐标系{C}，变换基准是坐标系{A}

变换前 ppp 在{A}中的坐标为 p1p_1p1，变换后 ppp 在{A}中的坐标为 p2p_2p2，得到

p2=TCBp1p_2 = T_C^B p_1p2=TCBp1

因此有

p2=TCAp1=TCB(TBAp0)=TCBTBAp0p_2 = T_C^A p_1 = T_C^B (T_B^A p_0) = T_C^B T_B^A p_0p2=TCAp1=TCB(TBAp0)=TCBTBAp0
==> TCA=TCBTBAT_C^A = T_C^B T_B^ATCA=TCBTBA（左乘）

坐标系{B}变换到坐标系{C}，变换基准是坐标系{B}

变换前 ppp 在{B}中的坐标为 p1Bp_1^Bp1B，变换后 ppp 在{B}中的坐标为 p2Bp_2^Bp2B，得到

p2B=TCBp1Bp_2^B = T_C^B p_1^Bp2B=TCBp1B

现在来看 p1B,p2Bp_1^B,p_2^Bp1B,p2B 与 p0,p1,p2p_0, p_1, p_2p0,p1,p2 之间的关系

p1B=p0p_1^B = p_0p1B=p0

p2=TBAp2Bp_2 = T_B^A p_2^Bp2=TBAp2B

因此有
{p2=TBAp2B=TBA(TCBp1B)=TBA(TCBp0)=TBATCBp0p2=TCAp0\left\{ \begin{array}{l} p_2 = T_B^A p_2^B = T_B^A (T_C^B p_1^B) = T_B^A (T_C^B p_0) = T_B^A T_C^B p_0 \\ p_2 = T_C^A p_0 \end{array} \right. {p2=TBAp2B=TBA(TCBp1B)=TBA(TCBp0)=TBATCBp0p2=TCAp0

==> TCA=TBATCBT_C^A = T_B^AT_C^BTCA=TBATCB（右乘）

关于一些细节的说明

教材《机器人学基础》里的 齐次变换矩阵 是在 2.3齐次坐标变换 中提出来的，但我个人认为齐次坐标矩阵只是齐次坐标变换问题的求解工具，而齐次变换矩阵本身的求解需要依靠坐标系变换（即上文内容）。
关于变换矩阵的求解使用的是单独的矢量而不是坐标系的原因：请注意求解过程中矢量本身的值对求解过程并无作用（即矢量可以是任意值），而且，坐标系的本质也是一组基向量，所以可以直接将对坐标系的操作和这个对矢量的操作等同。

一些碎碎念

一些零碎的吐槽记录

首先是最现实的解题：题目中常常会出现对于一个给定的点 ppp 问其在另一个坐标系中的坐标。这种问题也就是上面提到过的齐次坐标变换中提出的最核心的问题，但是这里面一点和上文有着极大的不同：ppp 是不会变的！这让我对本文方法求解出的齐次变换矩阵求解这种题时相当的迷惑
另外就是这本书中对于左乘和右乘并没有详细解释，唯一的说明就是本文开头的运动解释……好像也够做题了……
最后要吐槽的一个大的问题就是：关于左乘和右乘有一种说法：矢量问题是左乘，坐标系问题是右乘。刚开始变换矩阵的时候，这句话让我烦恼了两天……

如有错误欢迎指正