格雷码的编码和译码算法

格雷码(Golay Code)的编码和译码算法

格雷码在通信中应用广泛。例如早在1980年俄罗斯航天仪表码研究所为了提高“星一地”、“地一星”链路数字指控信息的可靠性，研制和实现了格雷码的编码器和译码器，该设备在某型号飞行任务中成功地进行了试验。试验表明，使用格雷码，通信系统的误码率与未编码通信系统相比减少了1-3个数量级。格雷码通常是指线性分组(23,12)码，最小距离dmin=7,纠错能力 t=3。由于223-12=2048=1+ ，所以格雷码是完备码，其码重分布见下面表1。码重0781112151623码个数1253506128812885062531表1 格雷码的码重分布

格雷码Golay (23，12)是循环码。对于汉明码、格雷码、二次剩余码、BCH码和R-S码等循环码的解码有很多方法，如梅杰特解码(Meggit, 1961)、大数逻辑解码(Reed，1954)、门限解码(Massey, 1961)、信息组解码(Prange, 1962)。最经典的方法当属梅杰特解码，它充分利用了循环码的循环特征。

格雷码的编码算法输入：信源消息u(消息分组u)输出：码字v1、处理：信源输出为一系列二进制数字0和1。在分组码中，这些二进制信息序列分成固定长度的消息分组(message blocks)。每个消息分组记为u，由k个信息位组成。因此共有2k种不同的消息。编码器按照一定的规则将输入的消息u转换为二进制n维向量v，这里n >k。此n维向量v就叫做消息u的码字(codeword)、码字矢量或码向量(code vector)。 因此，对应于2k种不同的消息，也有2k种码字。这2k个码字的集合就叫一个分组码(block code)。若一个分组码可用，2k个码字必须各不相同。因此，消息u和码字v存在一一对应关系。由于n符号输出码字只取决于对应的k比特输入消息，即每个消息是独立编码的，从而编码器是无记忆的，且可用组合逻辑电路来实现。定义：一个长度为n，有2k个码字的分组码，当且仅当其2k个码字构成域GF(2)上所有n维向量组成的向量空间的一个K维子空间时被称为线性(linear)(n, k)码。格雷码Golay(n,k)就是线性分组(n, k)码的一种。其编码算法即为使用生成矩阵G：v = u·G 。例1-1 格雷码Golay (20,8,7) 的生成矩阵G为：G= [ Ik P ]k×n = ，v = u·G ，处理完毕。其他线性分组(n, k)码都可以照此办理即可。线性分组(n, k)码的校正子(伴随式)有2n-k个，设该码的纠错能力为t，那么重量小于或者等于t的所有错误模式(图样)都要有唯一的校正子(伴随式)与之对应，因而，对于二进制(n, k)码，有汉明限：2n-k≥ ，当2n-k=时，(n, k)码称为完备码(Perfect Code)。完备码的校正子(伴随式)得到了充分的利用，不存在解码不唯一的问题，然而完备码不一定是纠错能力强的码，因为它的最小距离dmin未必最大。完备码也是稀少的，已知的二进制完备码有t=1的汉明码(Hamming Code)和t=3的格雷码(Golay Code)，以及n为奇数的简单重复(n,1)码。三进制完备码有t=2的(11,6,5)格雷码。纠错能力t=1的完备码统称为汉明码。由定义可知，(n, k)汉明码应当满足下列条件：2n-k=1+n ，令校验位长m=n-k，那么容易知道：n=2m-1, k=2m-1-m, dmin=3汉明码的校验矩阵H具有特殊的性质：它的m维列向量正好是除零向量以外的所有可能的向量组合，共有2m-1个，恰好构成了H矩阵的列数n。格雷码通常是指线性分组(23,12)码，最小距离dmin=7，纠错能力 t=3。由于223-12=2048=1+ ，所以格雷码是完备码，其码重(码的重量)分布见下面表0-1。

表1 格雷码的码重分布码重0781112151623码个数1253506128812885062531

备注：1、格雷码Golay (20,8,7) 的生成矩阵G为：G= [ Ik P ]k×n = 。2、除了分组码之外，还有卷积码。卷积码编码器同样接受k比特分组的信息序列u，并产生n符号组的编码序列(码序列)v(卷积码编码中，符号u和v用来表示分组的序列而非单个分组)。但是，每一个编码分组不仅取决于当前单位时间对应的k比特消息组，而且与前m个消息组有关。此时，编码器的存储级数(memory order)为m。编码器所产生的所有可能的输出编码序列的集合构成了一个码。比值R=k/n称为码率(code rate)。由于编码器有存储单元