ADADELTA: AN ADAPTIVE LEARNING RATE METHOD

文章目录

引
主要内容
算法
ADADELTA 代码

引

这篇论文比较短，先看了这篇，本来应该先把ADAGRAD看了的。普通的基于梯度下降的方法，普遍依赖于步长，起始点的选择，所以，受ADAGRAD的启发，作者提出了一种ADADELTA的方法。

Δxt=−RMS[Δx]t−1RMS[g]tgt\Delta x_t = -\frac{\mathrm{RMS}[\Delta x]_{t-1}}{\mathrm{RMS}[g]_t}g_t Δxt=−RMS[g]tRMS[Δx]t−1gt
其中gt=∂f(xt)∂xtg_t=\frac{\partial f(x_t)}{\partial x_t}gt=∂xt∂f(xt)，所以下一步迭代就是:
xt+1=xt+Δxtx_{t+1} = x_t + \Delta x_t xt+1=xt+Δxt

主要内容

ADAGRAD方法：
Δxt=−η∑τ=1tgτ2gt\Delta x_t = -\frac{\eta}{\sqrt{\sum_{\tau=1}^t g_{\tau}^2}}g_t Δxt=−∑τ=1tgτ2ηgt
也就是，步长与之前所有的梯度有关，显然这个步长是会逐渐减少的。但是这个缺点也很明显，如果起始点的梯度很大，那么就会导致后续步长很小，而一开始的梯度很小，就会导致后续步长很大，产生振荡，有些怪怪的。
而ADADELTA希望只关心一部分的梯度，比如
∑τ=t−ktgτ2\sqrt{\sum_{\tau=t-k}^tg_{\tau}^2} τ=t−k∑tgτ2
但是这么做，每次迭代都必须记录kkk个梯度，这显得不怎么效率，于是，作者相处了一个法子：
E[g2]t=ρE[g2]t−1+(1−ρ)gt2E[g^2]_t = \rho E[g^2]_{t-1} + (1-\rho)g_t^2 E[g2]t=ρE[g2]t−1+(1−ρ)gt2
可以看到，对于g1g_1g1，t+1t+1t+1步之后其影响为：ρt(1−ρ)g1\rho^t(1-\rho) g_1ρt(1−ρ)g1,对整个迭代造成的影响是一个等比序列：
(1−ρ),ρ(1−ρ),…,ρt(1−ρ)(1-\rho), \rho (1-\rho), \ldots, \rho^t(1-\rho) (1−ρ),ρ(1−ρ),…,ρt(1−ρ)
最后趋向于：
1−ρt+1→11-\rho^{t+1} \rightarrow1 1−ρt+1→1
这么做就俩劝其美啦。
记：
RMS[g]t=E[g2]t+ϵ\mathrm{RMS}[g]_t = \sqrt{E[g^2]_t + \epsilon} RMS[g]t=E[g2]t+ϵ
其中ϵ\epsilonϵ是为了让除法有意义而添加的小量。
所以
Δxt=−ηRMS[g]tgt\Delta x_t = -\frac{\eta}{\mathrm{RMS}[g]_t}g_t Δxt=−RMS[g]tηgt
这还不是最终版本，另一个启发决定了η\etaη的选择。

我们知道，很多问题是有实际含义的，xxx可能是有单位的，比如是米，天等，所以，一个很自然的期望是，Δx\Delta xΔx的单位和xxx是保持一致的。但是：
units of Δx∝units of g∝∂f∂x∝1units of x\mathrm{units \: of \:}\Delta x \propto \mathrm{units \: of \:} g \propto \frac{\partial f}{\partial x}\propto \frac{1}{\mathrm{units \: of \:} x} unitsofΔx∝unitsofg∝∂x∂f∝unitsofx1
也就是说Δx\Delta xΔx的步长单位和梯度单位是一致的，就像是l=vtl=vtl=vt，Δt\Delta tΔt的步长单位是m/sm/sm/s，是时间单位的倒数。
而利用二阶导数迭代步长就符合单位一致(如Newton方法)：
Δx∝H−1g∝∂f∂x∂2f∂x2∝units of x\Delta x \propto H^{-1} g \propto \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}} \propto \mathrm{units \: of \:} x Δx∝H−1g∝∂x2∂2f∂x∂f∝unitsofx
其中HHH为Hessian矩阵。
又注意到：
Δx=∂f∂x∂2f∂x2⇒1∂2f∂x2=Δx∂f∂x\Delta x = \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}} \Rightarrow \frac{1}{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}} = \frac{\Delta x}{\frac{\partial f}{\partial x}} Δx=∂x2∂2f∂x∂f⇒∂x2∂2f1=∂x∂fΔx
于是，完全体的ADADELTA方法变为如下：

Δxt=−RMS[Δx]t−1RMS[g]tgt\Delta x_t = -\frac{\mathrm{RMS}[\Delta x]_{t-1}}{\mathrm{RMS}[g]_t}g_t Δxt=−RMS[g]tRMS[Δx]t−1gt
分子式t−1t-1t−1的原因式Δxt\Delta x_tΔxt压根不知道，所木有办法，就将就一下。

算法

完整的算法如下：

需要注意一点的是，在实际实验中，我们设置E[Δx2]0=1E[\Delta x^2]_0=1E[Δx2]0=1而不是如算法中所说的0。因为，如果设置为0，那么意味着第一步只进行相当微小的迭代，所以之后也都是微小的迭代。或许作者是将ϵ\epsilonϵ设置为111?而不是一个小量？

ADADELTA 代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

这次用比较怪一点的方式来写，首先，创建一个类，用来存放函数fff和梯度ggg

class ADADELTA:def __init__(self, function, gradient, rho=0.7):assert hasattr(function, "__call__"), "Invalid function"assert hasattr(gradient, "__call__"), "Invalid gradient"assert 0 < rho < 1, "Invalid rho"self.__function = functionself.__gradient = gradientself.rho = rhoself.acc_gradient = 0 #初始化accumulate gradientself.acc_updates = 1 #初始化accumulate updatesself.progress = []@propertydef function(self):return self.__function@propertydef gradient(self):return self.__gradientdef reset(self):self.acc_gradient = 0 #初始化accumulate gradientself.acc_updates = 1 #初始化accumulate updatesself.progress = []

计算累计梯度
E[g2]t=ρE[g2]t−1+(1−ρ)gt2E[g^2]_t = \rho E[g^2]_{t-1} + (1-\rho)g_t^2 E[g2]t=ρE[g2]t−1+(1−ρ)gt2

def accumulate_gradient(self, gt):self.acc_gradient = self.rho * self.acc_gradient \+ (1 - self.rho) * gt ** 2return self.acc_gradient
ADADELTA.accumulate_gradient = accumulate_gradient

更新E[Δx]tE[\Delta x]_tE[Δx]t
E[Δx2]t=ρE[Δx2]t−1+(1−ρ)Δxt2E[\Delta x^2]_t = \rho E[\Delta x^2]_{t-1} + (1-\rho)\Delta x_t^2 E[Δx2]t=ρE[Δx2]t−1+(1−ρ)Δxt2

def accumulate_updates(self, deltax):self.acc_updates = self.rho * self.acc_updates \+ (1 - self.rho) * deltax ** 2return self.acc_updates
ADADELTA.accumulate_updates = accumulate_updates

计算更新步长:
Δxt=−RMS[Δx]t−1RMS[g]tgt\Delta x_t = -\frac{\mathrm{RMS}[\Delta x]_{t-1}}{\mathrm{RMS}[g]_t}g_t Δxt=−RMS[g]tRMS[Δx]t−1gt

def step(self, x, smoothingterm=1e-8):gt = self.gradient(x)self.accumulate_gradient(gt)RMS_gt = np.sqrt(self.acc_gradient + smoothingterm)RMS_up = np.sqrt(self.acc_updates + smoothingterm)deltax = -RMS_up / RMS_gt * gtself.accumulate_updates(deltax)return x + deltax
ADADELTA.step = step

进行t步

def process(self, startx, t, smoothingterm=1e-8):x = startxfor i in range(t):self.progress.append(x)x = self.step(x, smoothingterm)return self.progress
ADADELTA.process = process

可视化

def plot(self):x = np.arange(1, len(self.progress) + 1)y = np.array([self.function(item) for item in self.progress])fig, ax = plt.subplots(constrained_layout=True)ax.plot(x, y)ax.set_xlabel("steps")ax.set_ylabel("value of function")ax.set_title("value with steps")plt.show()
ADADELTA.plot = plot

def function(x):return x[0] ** 2 + 50 * x[1] ** 2def gradient(x):return 2 * x[0] + 100 * x[1]

test = ADADELTA(function, gradient, 0.9)
test.reset()
startx = np.array([10, 10])
test.process(startx, 50)
test.plot()