算法笔记：tarjan算法求强连通分量割点桥

强连通分量：其实就是个环

割点：把这个点去掉可以使图不连通

tarjan算法求强连通分量的思路：在dfs过程中有两个数组 low 和dfn 分别代表dfs中被搜索到的次序，以u为根的子树中的最小dfn。对于每一个点，如果它的dfn[u]==low[u]说明通过一条路径走回了自己，因为往后搜索的过程中dfn是在递增的，只有通过一个环走回去才可能使这两个值相等，所以就可以把这个环缩成点

if(low[u]==dfn[u]){t++;//连通分量的标号 do{color[z[k]]=t;    //属于这个连通分量 cnt[t]++;         //记录这个环中有多少个点vis[z[k]]=0; k--;              //出栈 }while(u!=z[k+1]);}

用栈来记录子树
对于每一个新点进行初始化
加入栈中
并记录这个点在栈中

dfn[u]=low[u]=++tot;z[++k]=u;//入栈 vis[u]=1;for(int i=0;i<e[u].size();i++){if(!dfn[e[u][i]]){tarjan(e[u][i]);low[u]=min(low[u],low[e[u][i]]);}else if(vis[e[u][i]]){low[u]=min(low[u],dfn[e[u][i]]);}}

luogu P2341 [USACO03FALL][HAOI2006]受欢迎的牛 G

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=1e5+5;
int n,m;
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],z[maxn],color[maxn],cnt[maxn],du[maxn],t,k,tot;
//dfn 深度优先搜索遍历时结点u被搜索的次序
//low 以u为根的子树的最小dfn
//z 数组模拟栈
//color 记录属于哪个连通分量
//cnt 记录每个连通分量里的元素个数
//du 缩点后 每个点的出度
vector<int>e[maxm];
void tarjan(int u){dfn[u]=low[u]=++tot;z[++k]=u;//入栈 vis[u]=1;for(int i=0;i<e[u].size();i++){if(!dfn[e[u][i]]){tarjan(e[u][i]);low[u]=min(low[u],low[e[u][i]]);}else if(vis[e[u][i]]){low[u]=min(low[u],dfn[e[u][i]]);}}if(low[u]==dfn[u]){t++;//连通分量的标号 do{color[z[k]]=t;    //属于这个连通分量 cnt[t]++;         //记录这个环中有多少个点vis[z[k]]=0; k--;              //出栈 }while(u!=z[k+1]);}
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);e[u].push_back(v);}for(int i=1;i<=n;i++){if(!dfn[i])tarjan(i);}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<e[i].size();j++){if(color[i]!=color[e[i][j]])du[color[i]]++;}}int ans=0;for(int i=1;i<=t;i++){if(du[i]==0){if(ans){cout<<"0";return 0;}ans=i;}}cout<<cnt[ans];return 0;
}

割点的思想跟强连通分量非常相似，判断任意一个点的儿子是否能走到自己的父亲，如果不能，这个点就是割点 即 low[v]>=dfn[u]，还有一种可能，根节点有两个以上的儿子，直接就是割点

luogu P3388 【模板】割点（割顶）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5,maxm=2e5+5;
int n,m;
bool cut[maxn];
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],z[maxn],color[maxn],cnt[maxn],du[maxn],t,k,tot;
vector<int>e[maxm];
void tarjan(int u,int root){//root代表此树的根 int child=0;dfn[u]=low[u]=++tot;for(int i=0;i<e[u].size();i++){int v=e[u][i];if(!dfn[v]){tarjan(v,root);low[u]=min(low[u],low[v]);if(low[v]>=dfn[u]&&u!=root)cut[u]=true;if(u==root)child++;}low[u]=min(low[u],dfn[v]);}if(u==root&&child>=2){cut[root]=true;}
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);e[u].push_back(v);e[v].push_back(u);}for(int i=1;i<=n;i++){if(!dfn[i])tarjan(i,i);}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(cut[i])ans++;}cout<<ans<<endl;for(int i=1;i<=n;i++){if(cut[i])cout<<i<<" ";}return 0;
}

真正的正确版本tarjan求桥
核心代码
cnt初始化为1

struct edge{int u,v,w,nex;
}e[maxm];
inline void add(int u,int v,int w){e[++cnt].nex=head[u];e[cnt].v=v;e[cnt].u=u;e[cnt].w=w;head[u]=cnt;
}
void tarjan(int u,int root){dfn[u]=low[u]=++tot;for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){int v=e[i].v;if(!dfn[v]){tarjan(v,i);low[u]=min(low[u],low[v]);if(low[v]>dfn[u]){qiao[i]=1;}}else if(i!=(root^1))low[u]=min(low[u],dfn[v]);}return;
}

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