MATLAB--高斯牛顿法

利用高斯牛顿法求解非线性问题，包含了利用LDLT分解法求解Ax=b的方程:

clear all;
clc
%%演示牛顿高斯法--非线性优化%真实值
ar = 1.0;
br = 2.0;
cr = 1.0;
x = 1:2:100;
x = x./100;
nosie = 0.9*randn(1,size(x,2));%产生高斯噪音
y_real = exp(ar*x.^2+br*x+cr)+nosie;%估计初始值
ae = 2.0;
be = 4.0;
ce = 3.0;
itr = 20;%迭代次数
num_itr = 0;%初始迭代次数
esp = 0.01;
%构造函数f(a,b,c)
syms x_ a b c;
arg = [a;b;c];
f(a,b,c,x_) = exp(a*x_.^2+b*x_+c);
Jacobi = jacobian(f,arg);
%高斯牛顿法
last_cost = 0;
for i=1:itrH = 0;b = 0;cost = 0;J = [0 0 0];for j = 1:size(x,2)error = y_real(j)-f(ae,be,ce,x(j));%雅可比矩阵J(1) = -x(j)^2*exp(ae*x(j)^2 + be*x(j) + ce);J(2) =  -x(j)*exp(ae*x(j)^2 + be*x(j) + ce);J(3) = -exp(ae*x(j)^2 + be*x(j) + ce);%用MATLAB库函数求出的Jacobian%J_ = -Jacobi(ae,be,ce,x(j));%因为y_real(j)-f(ae,be,ce,x(j))，所以要添个负号%for k=1:3%   J(k) = J_(k);%endH = H + J'*J;b = b+ -J'*error;cost = cost + error^2;end%结束条件if abs((cost-last_cost)/cost)<espbreakendnum_itr = i;last_cost = cost;fprintf('%d,%f\n',i,cost);%ldlt分解求解dx[L,D] = ldl(H);bH = sum(b,2);dx = L'\(D\(L\bH));%矩阵直接求逆求解dx%dx = H^-1*b;ae = vpa(ae+dx(1),2);%放低精度，加快运算速度be = vpa(be+dx(2),2);ce = vpa(ce+dx(3),2);
end
plot(x,f(ae,be,ce,x));
hold on;
grid on;
scatter(x,y_real,100,'black','.');
fprintf('迭代次数为：%d\n',num_itr);

运行结果：

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