A Physics-Data-Driven Bayesian Method for Heat Conduction Problems

2024-05-18 01:02:03

A Physics-Data-Driven Bayesian Method for Heat Conduction Problems

Xinchao Jiang*, Hu Wang†, Yu li
State
2021
arxiv
First author. E-mail address: jiangxinchao@hnu.edu.cn (X.C. Jiang) and Corresponding author. E-mail address: wanghu@hnu.edu.cn (H. Wang)

摘要

提出了物理数据驱动的贝叶斯方法，用以求解热传导方程。
热传导方程被编码到损失函数中，作为一个惩罚项。
能够使用更少数据，同时在正、逆问题上得到了研究。
此外，该方法可以在噪声数据下实现，并给出了相应的不确定性量化

动机

热传导问题包括正、逆问题。正问题是给定边界，几何形状，材料去求得温度场，逆问题是通过一些observations去重构出边界，几何形状或是材料参数。However, it is often difficult to obtain analytical results in the forward problem, and the inverse problem also often appears ill-posed。

问题

a general heat conduction equation is given as

考虑直角坐标系下，导热系数为常数，上式可表示为

这项工作主要研究其简化形式

上式涉及下列初值和边界条件

方法

其中w是概率模型的参数，使用最大似然估计。但是，最大似然估计容易过拟合，为了解决这个问题，贝叶斯框架下参数的后验分布也可以写成

w就能通过最大后验估计可以抵抗过拟合，因为这里的目标函数相当于最大似然估计的目标函数加上来自先验对数的正则化项

在这项工作中，w是来自高斯先验会产生一个L2正则化，所有的后验分布能够考虑权重不确定性下做预测。
真实的后验分布可由变分分布q(w∣θ)q(\boldsymbol{w} \mid \boldsymbol{\theta})q(w∣θ)估计，一个已知参数的函数。参数θ\thetaθ可由最小化KL散度。对于公式

贝叶斯神经网络构造的初始模型的损失可以描述为

求解整个问题的损失函数定义为

其中，Loss⁡T~=F(D,θ)\operatorname{Loss}_{\tilde{T}}=\mathcal{F}(\mathcal{D}, \boldsymbol{\theta})LossT~=F(D,θ)

实验部分

Steady heat conduction of a 3D heat sink(正逆问题)
Transient heat conduction problem of a 2D plate(正逆问题)

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