2018年全国卷Ⅲ卷理科数学解析版
前言
从一个数学老师的角度来解析2018高考,结合学生的实际学情,给出学习建议。
选择题
№.01
№.02
№.03
№.04
№.05
№.06【2018高考新课标Ⅲ卷第6题】直线\(x+y+2=0\)分别与\(x\)轴,\(y\)轴交于\(A\),\(B\)两点,点\(P\)在圆\((x-2)^2+y^2=2\)上,则\(\triangle ABP\)面积的取值范围是【】
法1:做出如下的图形,由图形可以看出,当圆上的动点到直线的距离最大时,\(\triangle ABP\)面积最大,当当圆上的动点到直线的距离最小时,\(\triangle ABP\)面积最小,
故三角形的高的最大值为\(2\sqrt{2}+r=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}\);三角形的高的最小值为\(2\sqrt{2}-r=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\);又\(|AB|=2\sqrt{2}\),
故\([S_{\triangle ABP}]_{max}=\cfrac{1}{2}\times 3\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=6\),\([S_{\triangle ABP}]_{min}=\cfrac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=2\),故选\(A\)。
法2:设圆上任一点的坐标为\(P(2+\sqrt{2}cos\theta,\sqrt{2}sin\theta)\),则三角形的高为\(h=d=\cfrac{|2+\sqrt{2}cos\theta+\sqrt{2}sin\theta+2|}{\sqrt{2}}=\cfrac{|4+2sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})|}{\sqrt{2}}\)
故当\(sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})=1\)时,\(h_{max}=\cfrac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\),
当\(sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})=-1\)时,\(h_{min}=\cfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\),又\(|AB|=2\sqrt{2}\),
故\([S_{\triangle ABP}]_{max}=\cfrac{1}{2}\times 3\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=6\),\([S_{\triangle ABP}]_{min}=\cfrac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=2\),故选\(A\)。
№.07
№.08
№.09
№.10
№.11
№.12
填空题
№.13
№.14
№.15
№.16【2018高考新课标Ⅲ卷第16题】已知点\(M(-1,1)\)和抛物线\(C:y^2=4x\),过\(C\)的焦点且斜率为\(k\)的直线与\(C\)交于\(A\),\(B\)两点,若\(\angle AMB=90^{\circ}\),则\(k\)=_________。
法1:点差法,做出如下示意图,连结\(MH\),\(H\)为焦点弦\(AB\)的中点,
由于\(\triangle AMB\)为直角三角形,\(H\)为\(AB\)的中点,则\(MH=\cfrac{1}{2}AB\),
又由于\(AB=AF+BF=AP+BQ\),则\(MH=\cfrac{1}{2}AB=\cfrac{1}{2}(AP+BQ)\),
故\(MH\)为直角梯形的中位线,则\(MH//x\)轴,
设\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\),则有\(y_1^2=4x_1\) ①,\(y_2^2=4x_2\) ②,
①-②得到,\(y_1^2-y_2^2=4(x_1-x_2)\),即\((y_1+y_2)(y_1-y_2)=4(x_1-x_2)\),
则有\(\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\cfrac{4}{y_1+y_2}\),即\(k=\cfrac{4}{y_1+y_2}\),
又由于\(MH//x\)轴,\(M(-1,1)\),则\(H\)点的纵坐标为1,即\(\cfrac{y_1+y_2}{2}=1\),则\(y_1+y_2=2\),代入上式,
得到\(k=\cfrac{4}{y_1+y_2}=2\).
法2:向量法,设直线\(AB:y=k(x-1)\),由于点\(A,B\)都在抛物线上,故设\(A(4t_1^2,4t_1)\),\(B(4t_2^2,4t_2)\),
联立直线和抛物线,得到\(\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{y^2=4x}\end{array}\right.\),消\(x\)得到,
\(y^2-\cfrac{4}{k}y-4=0\),则由韦达定理可知,\(4t_1+4t_2=\cfrac{4}{k}\),\(4t_1\cdot 4t_2=-4\),
即\(t_1+t_2=\cfrac{1}{k}\),\(t_1\cdot t_2=-\cfrac{1}{4}\),
又\(\overrightarrow{MA}=(4t_1^2+1,4t_1-1)\),\(\overrightarrow{MB}=(4t_2^2+1,4t_2-1)\),\(\angle AMB=90^{\circ}\),
则\(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\),即\((4t_1^2+1)(4t_2^2+1)+(4t_1-1)(4t_2-1)=0\),
打开整理得到,\(16(t_1t_2)^2+4(t_1^2+t_2^2)+1+16t_1t_2-4(t_1+t_2)+1=0\),
代入整理得到,\(\cfrac{4}{k^2}-\cfrac{4}{k}+1=0\),即\((\cfrac{2}{k}-1)^2=0\),解得\(k=2\)。
解答题
№.17
№.18
№.19
№.20
№.21
№.22在平面直角坐标系\(xoy\)中,\(\odot O\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=cos\theta}\\{y=sin\theta}\end{array}\right.(\theta为参数)\),过点\((0,-\sqrt{2})\)且倾斜角为\(\alpha\)的直线\(l\)与\(\odot O\)交于\(A,B\)两点。
(1)求\(\alpha\)的取值范围;
分析:先设出直线带斜率\(k\)的方程,再联立圆方程组成方程组,由于线与圆相交于两个点,则\(\Delta>0\) 或者圆心到直线的距离\(d < r=1\),都可以求解。不过在设直线方程时需要分类讨论;
【解析】当\(\alpha=\cfrac{\pi}{2}\)时,直线的斜率不存在,直线为\(x=0\)满足条件。
当\(\alpha=\cfrac{\pi}{2}\)时,设直线方程为\(y+\sqrt{2}=kx\),即直线为\(kx-y-\sqrt{2}=0\),\(\odot O\)的直角坐标方程为\(x^2+y^2=1\),故圆心到直线的距离\(d=\cfrac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{k^2+1}}<1\),
解得\(k^2>1\),即\(k>1\)或者\(k<-1\),借助\(y=tan\alpha(0\leq \alpha<\pi)\)的函数图像可知,
当\(k>1\)时,\(\cfrac{\pi}{4}<\alpha<\cfrac{\pi}{2}\),当\(k<-1\)时,\(\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\cfrac{3\pi}{4}\),
综上所述,\(\alpha\)的取值范围为\((\cfrac{\pi}{4},\cfrac{3\pi}{4})\);
(2)求\(AB\)中点\(P\)的轨迹的参数方程。
分析:看到题目中的\(AB\)中点\(P\)时,你应该想到直线的参数方程中的一个常识:
设点\(A,B\)对应的参数分别为\(t_A,t_B\),线段\(AB\)的中点\(P\)对应的参数为\(t_P\),则有\(\cfrac{t_A+t_B}{2}=t_P\)
【解析】由题目设直线\(l\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=t\cdot cos\alpha}\\{y=-\sqrt{2}+t\cdot sin\alpha}\end{array}\right.(t为参数,\cfrac{\pi}{4}<\alpha<\cfrac{3\pi}{4})\),
设\(A、B、P\)对应的参数分别为\(t_A、t_B、t_P\),则有\(t_P=\cfrac{t_A+t_B}{2}\),
将直线\(l\)的参数方程,代入圆\(O\)的直角坐标方程,整理得到\(t^2-2\sqrt{2}sin\alpha+1=0\),
则由韦达定理有\(t_A+t_B=2\sqrt{2}sin\alpha\),由中点坐标公式得到\(t_P=\sqrt{2}sin\alpha\),
又由于点\(P\)在直线\(l\)上,故满足直线的参数方程\(\left\{\begin{array}{l}{x=t_P\cdot cos\alpha}\\{y=-\sqrt{2}+t_P\cdot sin\alpha}\end{array}\right.\),
代入得到点\(P\)的轨迹的参数方程是\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{\sqrt{2}}{2} sin2\alpha}\\{y=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2} cos2\alpha}\end{array}\right.(\alpha为参数,\cfrac{\pi}{4}<\alpha<\cfrac{3\pi}{4})\),
【解后反思】1、注意设直线方程时的分类讨论。2、注意直线参数方程中的中点坐标公式\(\cfrac{t_A+t_B}{2}=t_P\)。
№.23
转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9192479.html
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