【AOV网】

日常生活中，一项大的工程可以看作是由若干个子工程组成的集合，这些子工程之间必定存在一定的先后顺序，即某些子工程必须在其他的一些子工程完成后才能开始。

我们用有向图来表现子工程之间的先后关系，子工程之间的先后关系为有向边，这种有向图称为“顶点活动网络”，即：AOV 网。

一个有向无环图称为无环图（Directed Acyclic Graph），简称 DAG 图，因此一个 AOV 网必定是一个有向无环图，即不带有回路。与 DAG 不同的是，AOV 的活动都表示在边上。

如下图，共有11项活动（11条边），9个事件（9个点），只有一个源点（入度为零的点）和一个汇点（一个出度为零的点），路径的长度是边上活动耗费的时间，则可定义概念——关键路径：从源点到汇点的最长路径的长度，下图中的：1-2-5-7-9 即为一条关键路径，权值的和为18。

【基本概念】

活动：子工程组成的集合，每个子工程即为一个活动。
前驱活动：有向边起点的活动称为终点的前驱活动（只有当一个活动的前驱全部都完成后，这个活动才能进行）。
后继活动：有向边终点的活动称为起点的后继活动。
拓扑排序：将 AOV 网中所有活动排成一个序列，使得每个活动的前驱活动都排在该活动的前面。
拓扑序列：经过拓扑排序后得到的活动序列（一个 AOV 网的拓扑序列不是唯一的）。
关键路径：AOV 网中从源点到汇点的最长路径的长度（一个 AOV 网中的拓扑排序不是唯一的）。

【拓扑排序思想】

选择一个入度为 0 的顶点并输出。
从 AOV 网中删除此顶点及以此顶点为起点的所有关联边。
重复上述两步，直到不存在入度为 0 的顶点为止。
若输出的顶点数小于 AOV 网中的顶点数，则说明 AOV 网中回路，不是一个标准的 AOV 网。

【算法分析】

以下图为例

开始时，只有 A 入度为 0，A 入栈。

栈：A

栈顶元素 A 出栈，输出 A，A 的后继节点 B、C 入度减 1（相当于删除 A 的所有关联边）。

栈：空

拓扑序列：A

B、C 入度都为 0，依次将 B、C 入栈

栈：BC（入栈顺序不唯一）

拓扑序列：A

栈顶元素 C 出栈，输出 C，C 的后继结点 D 入度减 1（相当于删除 C 的所有关联边）。

栈：B

拓扑序列：AC

栈顶元素 B 出栈，输出 B，B 的后继结点 D 入度减 1（相当于删除 B 的所有关联边），此时 D 的入度为 0，入栈。

栈：D

拓扑序列：ACB

栈顶元素 D 出栈，输出 D。

栈：空

拓扑序列：ACBD（不唯一）

【AOV 网的判定】

有时，给出一个 n 个点 m 条边的有向图，需要判定图是否是 AOV 网，也即判断图是否可以进行拓扑排序。

一个有向图无法进行拓扑排序时只有一种情况：该有向图中存在环。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<vector>
#define N 10001
using namespace std;
int n,m;
int in[N];//节点入度
vector<int> G[N];//G[i]表示i节点所指向的所有其他点
bool judgeTopsort()//判断该图是否可拓扑排序
{stack<int> S;int cnt=0;//记录可拆解的点数目for(int i=1;i<=n;i++)//枚举编号从1到n的点if(in[i]==0)//入度为0，入栈S.push(i);while(!S.empty()) {int x=S.top();//取栈顶元素S.pop();cnt++;//可拆点数+1for(int i=0;i<G[x].size();i++){int y=G[x][i];in[y]--;//入度减一if(in[y]==0)//入度为0，出栈S.push(y);}}if(cnt==n)//AOV网点数等于图的点数，不存在环，可进行拓扑排序return true;else//AOV网点数等于图的点数，存在环，不可进行拓扑排序return false;
}
int main()
{while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n){memset(in,0,sizeof(in));for(int i=1;i<=n;i++)G[i].clear();while(m--) {int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x].push_back(y);in[y]++;}printf("%s\n",judgeTopsort()?"YES":"NO");}return 0;
}

【拓扑排序的输出】

1.输出任意一条拓扑排序结果

当给出一 n 个点 m 条边的有向边时，要输出一个可行的点的拓扑序列，此时可根据上述的 AOV 网判定代码，修改后存储路径输出即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<vector>
#define N 10001
using namespace std;
int n,m;
int in[N];//节点入度
int path[N];//存储路径
vector<int> G[N];//G[i]表示i节点所指向的所有其他点
void Topsort()//拓扑排序
{stack<int> S;int cnt=0;//记录可拆解的点数目for(int i=1;i<=n;i++)//枚举编号从1到n的点if(in[i]==0)//入度为0，入栈S.push(i);while(!S.empty()) {int x=S.top();//取栈顶元素S.pop();path[++cnt]=x;//存储可拆点for(int i=0;i<G[x].size();i++){int y=G[x][i];in[y]--;//入度减一if(in[y]==0)//入度为0，出栈S.push(y);}}
}
int main()
{while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n){memset(in,0,sizeof(in));for(int i=1;i<=n;i++)G[i].clear();while(m--) {int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x].push_back(y);in[y]++;}Topsort();for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",path[i]);printf("\n");}return 0;
}

2.输出按字典序最小的拓扑排序结果

求字典序最小的拓扑序列时，要用优先队列，且是最小值优先的队列，其大致思想是队列 Q 总是将当前在入度为 0 的最小节点优先取出，从而保证了字典序最小。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define N 10001
using namespace std;
int n,m;
int in[N];//节点入度
int path[N];//存储路径
vector<int> G[N];//G[i]表示i节点所指向的所有其他点
void Topsort()//拓扑排序
{priority_queue< int,vector<int>,greater<int> > Q;//最小值先出列int cnt=0;//记录可拆解的点数目for(int i=1;i<=n;i++)//枚举编号从1到n的点if(in[i]==0)//入度为0，入列Q.push(i);while(!Q.empty()) {int x=Q.top();//队列首元素Q.pop();path[++cnt]=x;//存储可拆点for(int i=0;i<G[x].size();i++){int y=G[x][i];in[y]--;//入度减一if(in[y]==0)//入度为0，出列Q.push(y);}}
}
int main()
{while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n){memset(in,0,sizeof(in));for(int i=1;i<=n;i++)G[i].clear();for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x].push_back(y);in[y]++;}Topsort();for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",path[i]);printf("\n");}return 0;
}

【例题】

1.拓扑排序的判定

Legal or Not（HDU-3342）：点击这里
Triangle LOVE（HDU-4324）：点击这里

2.输出拓扑排序结果

Genealogical tree（POJ-2367）(输出任一条拓扑排序结果)：点击这里
确定比赛名次（HDU-1285）(输出字典序最小的拓扑排序结果)：点击这里
Following Orders（POJ-1270）(按字典序输出所有拓扑排序结果)：点击这里

3.拓扑排序的应用

烦人的幻灯片（信息奥赛一本通-T1395）(拓扑排序思想)：点击这里
家谱树（信息奥赛一本通-T1351）(构造拓扑排序)：点击这里
奖金（信息奥赛一本通-T1352）(构造拓扑排序)：点击这里
Cow Traffic（POJ-3272）(双向拓扑排序)：点击这里
Ponds（HDU-5438）(拓扑排序删点+dfs)：点击这里
病毒（信息奥赛一本通-T1396）(给出字典序，找出拓扑排序关系)：点击这里
处女座的比赛资格（2019牛客寒假算法基础集训营 Day3-B）(拓扑排序求最短路)：点击这里
Sorting It All Out（POJ-1094）(拓扑排序+差分约束系统)：点击这里
Labeling Balls（POJ-3687）(拓扑排序+逆向思维)：点击这里

图论 —— AOV 网与拓扑排序相关推荐

有向无环图——AOV网及拓扑排序
有向无环图--AOV网及拓扑排序有向无环图无环的有向图叫有向无环图,简称DAG图其应用大致如下: 在工程计划和管理方面有着广泛而重要的应用描述一项工程或系统的进行进程的有效工具对整个工程和系 ...
图论——AOV网络及拓扑排序
引入有向无环图(DAG) 如果一个有向图不存在环,也就是任意结点都无法通过一些有向边回到自身,那么称这个有向图为有向无环图 AOV 网络在有向图中,用顶点表示活动,用有向边<Vi,Vj> ...
拓扑排序之AOV网及其拓扑排序思想（C语言）
一.拓扑排序 (一)AOV⽹ AOV网(Activity On Vertex NetWork,⽤顶点表示活动的网):用DAG图(有向无环图)表示⼀个⼯程.顶点表示活动,有向边<Vi, Vj> ...
C语言-AOV网与拓扑排序
邻接表: 顶点下标查找函数(LocateVex) 创建有向图的邻接表(CreateDG) 邻接表打印函数(print) 拓扑排序(TopologicalSort) AOV网与AOE网: AOV网(Ac ...
AOV网络、拓扑排序、拓扑序列
AOV网络 AOV网是有向图的一类应用,在AOV网中,用顶点表示某个有一定规模的"工程"里的不同活动,用图中的边表示各项活动之间的先后顺序关系.一种常见的AOV网实例是大学课程的先 ...
图算法入门3：活动网络-AOV网络和拓扑排序
AOV网络通常一个工程可以分成若干个子工程,这些子工程被称为活动(activity),完成这些活动,整个工程就完成了.给一个简单的例子,如下图,大学专业课程存在依赖关系,对于一些课程必须选修其他课程 ...
图论算法—图的拓扑排序介绍和Kahn算法原理解析以及Java代码的实现
详细介绍了图的拓扑排序的概念,然后介绍了求拓扑序列的算法:Kahn算法的原理,最后提供了基于邻接矩阵和邻接表的图对该算法的Java实现. 阅读本文需要一定的图的基础,如果对于图不是太明白的可以看看这篇 ...
【题解】（图论） —— POJ 0719:拓扑排序
题目链接:OpenJudge - 0719:拓扑排序总时间限制: 10000ms 内存限制: 1000kB 描述给出一个图的结构,输出其拓扑排序序列,要求在同等条件下,编号小的顶点在前输入若干 ...
数据结构与算法A实验六图论---7-7 最短工期 (拓扑排序)
一个项目由若干个任务组成,任务之间有先后依赖顺序.项目经理需要设置一系列里程碑,在每个里程碑节点处检查任务的完成情况,并启动后续的任务.现给定一个项目中各个任务之间的关系,请你计算出这个项目的最早完工 ...

图论 —— AOV 网与拓扑排序