【优化求解】基于粒子群算法求解多目标优化问题matlab源码

1 算法介绍

1.1 关于速度和位置

粒子群算法通过设计一种无质量的粒子来模拟鸟群中的鸟，粒子仅具有两个属性：速度和位置，速度代表移动的快慢，位置代表移动的方向。

鸟被抽象为没有质量和体积的微粒(点)，并延伸到N维空间，粒子i在N维空间的位置表示为矢量Xi＝(x1，x2，…，xN)，飞行速度表示为矢量Vi＝(v1，v2，…，vN)。每个粒子都有一个由目标函数决定的适应值(fitness value)，并且知道自己到目前为止发现的最好位置(pbest)和现在的位置Xi。这个可以看作是粒子自己的飞行经验。除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位置(gbest)(gbest是pbest中的最好值)，这个可以看作是粒子同伴的经验。粒子就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运动。

2.2 速度和位置的更新

PSO初始化为一群随机粒子(随机解)。然后通过迭代找到最优解。在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pbest，gbest)来更新自己。在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己的速度和位置。

对于公式(1)：

公式(1)的第①部分称为【记忆项】，表示上次速度大小和方向的影响；

公式(1)的第②部分称为【自身认知项】，是从当前点指向粒子自身最好点的一个矢量，表示粒子的动作来源于自己经验的部分；

公式(1)的第③部分称为【群体认知项】，是一个从当前点指向种群最好点的矢量，反映了粒子间的协同合作和知识共享。粒子就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运动。

以上面两个公式为基础，再来看一个公式：

公式(2)和公式(3)被视为标准PSO算法。

1.3 标准PSO算法的流程

1）初始化一群微粒(群体规模为N)，包括随机位置和速度；

2）评价每个微粒的适应度；

3）对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置pbest作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置pbest；

4）对每个微粒，将其适应值与其经过的最好位置gbest作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置gbest；

5）根据公式(2)、(3)调整微粒速度和位置；

6）未达到结束条件则转第2）步。

迭代终止条件根据具体问题一般选为最大迭代次数Gk或(和)微粒群迄今为止搜索到的最优位置满足预定最小适应阈值。

## 4.2 PSO流程图解

2 部分代码

clc;
clear;
close all;

%% 问题定义，这里可以删除

TestProblem=1;   % Set to 1, 2, or 3

switch TestProblemcase 1CostFunction=@(x) MyCost1(x);nVar=50;VarMin=0;VarMax=1;case 2CostFunction=@(x) MyCost2(x);nVar=3;VarMin=-5;VarMax=5;case 3CostFunction=@(x) MyCost3(x);nVar=2;VarMin=0;VarMax=1;
end

VarSize=[1 nVar];

VelMax=(VarMax-VarMin)/10;

%% MOPSO 设置
nPop=500;   % Population Size

nRep=100;   % Repository Size

MaxIt=500;  % Maximum Number of Iterations

phi1=2.05;%学习因子
phi2=2.05;
phi=phi1+phi2;
chi=2/(phi-2+sqrt(phi^2-4*phi));

w=chi;              % Inertia Weight
wdamp=1;            % Inertia Weight Damping Ratio
c1=chi*phi1;        % Personal Learning Coefficient
c2=chi*phi2;        % Global Learning Coefficient

alpha=0.1;  % Grid Inflation Parameter

nGrid=10;   % Number of Grids per each Dimension

beta=4;     % Leader Selection Pressure Parameter

gamma=2;    % Extra (to be deleted) Repository Member Selection Pressure

%% 初始化

particle=CreateEmptyParticle(nPop);

for i=1:nPopparticle(i).Velocity=0;particle(i).Position=unifrnd(VarMin,VarMax,VarSize); %unifrnd在[VarMin,VarMax]区间模拟VarSize的数组% 初始化了自变量X的位置particle(i).Cost=CostFunction(particle(i).Position); % 求解目标函数particle(i).Best.Position=particle(i).Position;particle(i).Best.Cost=particle(i).Cost;
end

particle=DetermineDomination(particle);

rep=GetNonDominatedParticles(particle);

rep_costs=GetCosts(rep);
G=CreateHypercubes(rep_costs,nGrid,alpha);

for i=1:numel(rep)[rep(i).GridIndex rep(i).GridSubIndex]=GetGridIndex(rep(i),G);
end%% MOPSO 主循环

for it=1:MaxItfor i=1:nPoprep_h=SelectLeader(rep,beta);
particle(i).Velocity=w*particle(i).Velocity ...+c1*rand*(particle(i).Best.Position - particle(i).Position) ...+c2*rand*(rep_h.Position -  particle(i).Position);
particle(i).Velocity=min(max(particle(i).Velocity,-VelMax),+VelMax);
particle(i).Position=particle(i).Position + particle(i).Velocity;flag=(particle(i).Position<VarMin | particle(i).Position>VarMax);    %非劣检查:flagparticle(i).Velocity(flag)=-particle(i).Velocity(flag);particle(i).Position=min(max(particle(i).Position,VarMin),VarMax);
particle(i).Cost=CostFunction(particle(i).Position);
if Dominates(particle(i),particle(i).Best)particle(i).Best.Position=particle(i).Position;particle(i).Best.Cost=particle(i).Cost;elseif ~Dominates(particle(i).Best,particle(i))if rand<0.5particle(i).Best.Position=particle(i).Position; particle(i).Best.Cost=particle(i).Cost;endend
endparticle=DetermineDomination(particle);nd_particle=GetNonDominatedParticles(particle);rep=[repnd_particle];rep=DetermineDomination(rep);rep=GetNonDominatedParticles(rep);for i=1:numel(rep)[rep(i).GridIndex rep(i).GridSubIndex]=GetGridIndex(rep(i),G);endif numel(rep)>nRepEXTRA=numel(rep)-nRep;rep=DeleteFromRep(rep,EXTRA,gamma);rep_costs=GetCosts(rep);G=CreateHypercubes(rep_costs,nGrid,alpha);end%     disp(['Iteration ' num2str(it) ': Number of Repository Particles = ' num2str(numel(rep))]);w=w*wdamp;
end

%% 结果

costs=GetCosts(particle);
rep_costs=GetCosts(rep);

figure;

plot(costs(1,:),costs(2,:),'b.');
hold on;
plot(rep_costs(1,:),rep_costs(2,:),'rx');
legend('Main Population','Repository');

3 仿真结果

4 参考文献

[1]王越, 吕光宏. 改进的粒子群求解多目标优化算法[J]. 计算机技术与发展, 2014, 000(002):42-45.

5 代码下载