一个和二维泊松求和有关的公式(推导Ewald级数中有用,运用了2D泊松求和公式，傅里叶变换的位移性质)

∑(m,n)∈Zf(x−mTx,y−nTy)⋅ei(qx⋅mTx+qy⋅nTy)=eiqx⋅x+iqy⋅y∑(m,n)∈Zf(x−mTx,y−nTy)⋅e−i(x−mTx)qx−i(y−nTy)qy=eiqx⋅x+iqy⋅y1TxTy∑(m,n)∈Zf^(2πmTx+qx,2πnTy+qy)⋅ei2πmTx⋅xei2πnTyy=1TxTy∑(m,n)∈Zf^(2πmTx+qx,2πnTy+qy)⋅ei(2πmTx+qx)⋅x⋅ei(2πnTy+qy)⋅y\LARGE \begin{aligned} & \sum_{(m, n) \in Z} f\left(x-m T_{x}, y-n T_{y}\right) \cdot e^{i\left(q_{x} \cdot m T_{x}+q_{y} \cdot n T_{y}\right)} \\ =& e^{i q_{x} \cdot x+i q_{y} \cdot y} \sum_{(m, n) \in Z} f\left(x-m T_{x}, y-n T_{y}\right) \cdot e^{-i\left(x-m T_{x}\right) q_{x}-i\left(y-n T_{y}\right) q_{y}} \\ =& e^{i q_{x} \cdot x+i q_{y} \cdot y} \frac{1}{T_{x} T_{y}} \sum_{(m, n) \in Z} \hat{f}\left(\frac{2 \pi m}{T_{x}}+q_{x}, \frac{2 \pi n}{T_{y}}+q_{y}\right) \cdot e^{i \frac{2 \pi m}{T_{x}} \cdot x} e^{i \frac{2 \pi n}{T_{y}} y} \\ =& \frac{1}{T_{x} T_{y}} \sum_{(m, n) \in Z} \hat{f}\left(\frac{2 \pi m}{T_{x}}+q_{x}, \frac{2 \pi n}{T_{y}}+q_{y}\right) \cdot e^{i\left(\frac{2 \pi m}{T_x}+q_{x}\right) \cdot x} \cdot e^{i\left(\frac{2 \pi n}{T_{y}}+q_{y}\right) \cdot y} \end{aligned}===(m,n)∈Z∑f(x−mTx,y−nTy)⋅ei(qx⋅mTx+qy⋅nTy)eiqx⋅x+iqy⋅y(m,n)∈Z∑f(x−mTx,y−nTy)⋅e−i(x−mTx)qx−i(y−nTy)qyeiqx⋅x+iqy⋅yTxTy1(m,n)∈Z∑f^⎝⎜⎛Tx2πm+qx,Ty2πn+qy⎠⎟⎞⋅eiTx2πm⋅xeiTy2πnyTxTy1(m,n)∈Z∑f^⎝⎜⎛Tx2πm+qx,Ty2πn+qy⎠⎟⎞⋅ei(Tx2πm+qx)⋅x⋅ei(Ty2πn+qy)⋅y

它的推导用到了2D泊松求和以及傅里叶变换的位移性质。

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