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2021.10.30

1. 为什么方差（sample variance）公式分母是n-1

S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2S^2= \frac{1}{n-1}\sum_ {i=1}^n(X_i-\bar{X})^2S2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2

计算公式里分母为n-1的目的是为了让方差的估计是无偏的，也就是修正后的。
而S2=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2S^2= \frac{1}{n}\sum_ {i=1}^n(X_i-\bar{X})^2S2=n1∑i=1n(Xi−Xˉ)2是有 bias。

E[(Xi−μ)2]=E[1n∑i=1n(Xi−μ)2]=σ2E[(X_i-\mu)^2]=E[ \frac{1}{n}\sum_ {i=1}^n(X_i-\mu)^2]=\sigma^2 E[(Xi−μ)2]=E[n1i=1∑n(Xi−μ)2]=σ2

σ2\sigma^2σ2是方差;
μ\muμ是随机变量X的数学期望
这是个无偏估计，分母不偏不倚正好是n

也就是说当公式μ换成了Xˉ\bar{X}Xˉ公式分母从n换成了n-1。为何？

2. 图像理解误差的存在

假设分布正态，我们真实期望是 μ\muμ，但我们不知道
我们统计得到的期望是Xˉ\bar{X}Xˉ,

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除非 已知数据求到的期望Xˉ\bar{X}Xˉ 正正好与 真实分布期望 μ\muμ 相等，否之一定会有:

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也是就我们真实的分布和通过数据估算出来的分布有一定差距，只有正好Xˉ=μ\bar{X}=\muXˉ=μ时候没有误差。

3. 误差有多大

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