找出矩阵中绝对值最大的元素及其位置_线性代数之——矩阵范数和条件数
1. 矩阵范数
我们怎么来衡量一个矩阵的大小呢？针对一个向量，它的长度是
Frobenius 对矩阵中的所有元素进行平方
向量范数满足三角不等式，即
第二个对矩阵范数的要求是新的，因为矩阵可以相乘。范数
根据此，我们可以这样定义矩阵的范数：
恒等矩阵的范数为 1，针对一个正交矩阵，我们有
针对正定的对称矩阵，
。
将矩阵分解成
对于不对称的矩阵，它的特征值不能衡量矩阵真正的大小，范数可以比所有特征值都大。
对于上面的例子，
矩阵的范数是
最大特征值的平方根，也就是矩阵的最大奇异值。
2. 条件数
有些系统对误差很敏感，有些则不是那么敏感，对误差的灵敏度我们用条件数来衡量。
原始的方程为
如果
但这样会有一个问题，当我们改变
- 证明
(1) 式和 (2) 式相乘，可得，
上式两边同时除以
同理可得，
此外，对于正定矩阵，条件数来自于它的特征值。
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