回溯法

问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。
只要是解可以描述成向量方式的，就可以使用回溯法，不断的扩张部分向量，向下深入的过程就是，从部分解到可行解的过程。
解必须满足多米诺性质：
可行解满足约束–>部分解满足约束
逆否为：部分解不满足约束–>可行解不满足约束
这样可以用来pruning。

最简单的回溯，解空间为二叉树，又叫子集树

递归方式实现的框架如下：

void backtrack(int t){   if(t > n) output(x);   else{   for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){   x[t] = h(i);   if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);   }   }
}

实现代码如下：

def pack_01_back(N,V,C,W):BestResult = [0]*Nx = [0]*NBestValue = [0]CurCost = [0]CurValue = [0]def pack_01_back_tracking(depth):# 递归出口if depth > N-1:if CurValue[0] > BestValue[0]:BestValue[0] = CurValue[0]# x为可行解，在叶子处把可行解记录下来BestResult[:] = x[:]print BestResultprint BestValue# 注意ｅｌｓｅ的含义else:for i in range(2):x[depth] = iif i == 0:pack_01_back_tracking(depth+1)else:if CurCost[0] + C[depth] <= V:CurCost[0] += C[depth]CurValue[0]  += W[depth]pack_01_back_tracking(depth+1)#　回溯时的处理，就是往上回溯时，要把吃进去的吐出来CurCost[0] -= C[depth]CurValue[0]  -= W[depth]pack_01_back_tracking(0)return BestResult,BestValue

迭代方式实现

顺序执行流程图如下

代码如下

注意不剪枝，回溯是在最底部，回溯到最后放入的那个物品

#%%
def pack_01_back_iteration2(N,V,C,W):depth = 0　BestResult = [False]*NSelected = [False]*(N)BestValue = 0CurCost = 0CurValue = 0    while True:if depth < N:if CurCost + C[depth] <= V:Selected[depth] = TrueCurCost += C[depth]CurValue  += W[depth]# 回溯是处于底部    else:if CurValue > BestValue:BestValue = CurValue                BestResult[:] = Selected[:]# 到底部时，已经超了一个depth -=1while depth >= 0 and not Selected[depth]:depth -=1# 回溯到root退出if depth < 0:break# undoelse:Selected[depth] =FalseCurCost -= C[depth]CurValue  -= W[depth]depth +=1return BestResult,BestValue#%%
def pack_01_back_iteration(N,V,C,W):depth = 0BestResult = [False]*NSelected = [False]*(N)BestValue = 0CurCost = 0CurValue = 0while depth >= 0:while depth < N: if CurCost + C[depth] <= V:Selected[depth] = TrueCurCost += C[depth]CurValue  += W[depth]depth +=1else:Selected[depth] = Falsedepth +=1if CurValue > BestValue:BestValue = CurValue                BestResult[:] = Selected[:N]depth -=1while depth > 0 and Selected[depth] == 0:depth -=1if Selected[depth] ==1:Selected[depth] =FalseCurCost -= C[depth]CurValue  -= W[depth]depth +=1if depth == 0:breakreturn BestResult,BestValue

运行结果：

#%%
N = 8
V = 30
C = [11,2,3,9,13,6,15,7,19]
W = [5,2,5,7,5,11,6,14]print pack_01_back(N,V,C,W)
print pack_01_back_iteration(N,V,C,W)
print pack_01_back_iteration2(N,V,C,W)runfile('/root/test/back_tracking.py', wdir='/root/test')
([False, True, True, True, False, True, False, True], [39])
([False, True, True, True, False, True, False, True], 39)
([False, True, True, True, False, True, False, True], 39)

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