[题目链接] https://www.luogu.org/problemnew/show/P4719

题解(shadowice)

代码借鉴

求最大独立集是一个经典的问题，这个转移如果套上树剖就可以转化为序列上的问题，就可以用所谓的矩阵乘法维护了．

设\(g[x][0/1]\)代表重儿子以外的答案，\(f[x][0/1]\)代表最终的答案，假如维护好了这两个信息，那么重链上的转移就是正确的了．

注意矩阵乘法的顺序，手模可以发现答案是重链上从上到下的g[]相乘再乘上最下面的点的\(f[]\)．而最底下的点的\(f[]\)恰好就是\(g[]\)，而乘的过程中只要满足\(g[]\)的\(a[0][0]\)和\(a[1][0]\)正确就行了，所以最终答案就可以直接是\(rt\)所在的重链的矩阵乘起来．

dp用矩阵乘法维护可以参考这道题 ．取max操作也可以用矩阵维护．

具体实现：修改某一个点权值就把它的信息更改，直接更新它所在的重链的答案，再一路更新上面所有的重链．

注意几点：

\(1.\)证明正确性的时候，一定要把矩阵乘法的顺序手模出来，一般要转化为与树剖的dfn序相符．

\(2.\)初始的答案在建树时存进去，所以还要先一遍dfs算出最初的答案．

细节详见代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL INF=1e18+7;
inline LL read(){register LL x=0,f=1;register char c=getchar();while(c<48||c>57){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>=48&&c<=57)x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();return f*x;
}const int MAXN=100005;
const int MAXM=200005;struct Edge{int v,next;
}e[MAXM];
int first[MAXN],Ecnt=0;
inline void Add_edge(int u,int v){e[++Ecnt]=(Edge){v,first[u]};first[u]=Ecnt;
}int size[MAXN],top[MAXN],seg[MAXN],rev[MAXN],son[MAXN],fa[MAXN],bot[MAXN],val[MAXN];
LL f[MAXN][2];
int n,m;inline void dfs1(int u,int pre){size[u]=1;for(int i=first[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(v==pre) continue;fa[v]=u;dfs1(v,u);size[u]+=size[v];if(size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;}
}inline void dfs2(int u,int pre){seg[u]=++seg[0];rev[seg[0]]=u;if(son[u]){top[son[u]]=top[u];dfs2(son[u],u);bot[u]=bot[son[u]];//bot[]的更新}else bot[u]=u;for(int i=first[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(v==pre||v==son[u]) continue; top[v]=v;dfs2(v,u);      }
}inline void dfs3(int u,int pre){f[u][1]=val[u];for(int i=first[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(v==pre) continue;dfs3(v,u);f[u][1]+=f[v][0];f[u][0]+=max(f[v][0],f[v][1]);//算出初始答案}
}struct Matrix{LL a[2][2];//这题矩阵乘法可以直接这么写inline friend Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){Matrix res;res.a[0][0]=max(a.a[0][0]+b.a[0][0],a.a[0][1]+b.a[1][0]);res.a[0][1]=max(a.a[0][0]+b.a[0][1],a.a[0][1]+b.a[1][1]);res.a[1][0]=max(a.a[1][0]+b.a[0][0],a.a[1][1]+b.a[1][0]);res.a[1][1]=max(a.a[1][0]+b.a[0][1],a.a[1][1]+b.a[1][1]);return res;}
}g[MAXN<<2],tmp[MAXN];struct SGT{
#define ls (rt<<1)
#define rs (rt<<1|1)inline void pushup(int rt){g[rt]=g[ls]*g[rs];}inline void build(int rt,int l,int r){if(l==r){int u=rev[l],g0=0,g1=val[u];for(int i=first[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v;if(v==son[u]||v==fa[u]) continue;g0+=max(f[v][0],f[v][1]);g1+=f[v][0];}tmp[l]=g[rt]=(Matrix){g0,g0,g1,-INF};//建树时就要算出初始的答案!!!return;}int mid=(l+r)>>1;build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);pushup(rt);}inline Matrix query(int rt,int l,int r,int x,int y){if(l>=x&&r<=y) return g[rt];int mid=(l+r)>>1;if(y<=mid) return query(ls,l,mid,x,y);if(mid<x) return query(rs,mid+1,r,x,y);return query(ls,l,mid,x,y)*query(rs,mid+1,r,x,y);}inline Matrix GetMat(int u){return query(1,1,n,seg[top[u]],seg[bot[u]]);}inline void modify(int rt,int l,int r,int p){if(l==r&&l==p){g[rt]=tmp[l];return;}int mid=(l+r)>>1;if(p<=mid) modify(ls,l,mid,p);else modify(rs,mid+1,r,p);pushup(rt);}inline void modify(int u,int w){tmp[seg[u]].a[1][0]+=w-val[u],val[u]=w;//细节处理,先更新再说while(u){Matrix a=GetMat(u);modify(1,1,n,seg[u]);//算出u所在的重链的答案Matrix b=GetMat(u);u=fa[top[u]];//一路更新上去.if(!u) break;//利用更新前后的差值去更新fa//tmp是一个中间变量,方便更新g[]tmp[seg[u]].a[0][1]=(tmp[seg[u]].a[0][0]+=max(b.a[0][0],b.a[1][0])-max(a.a[0][0],a.a[1][0]));tmp[seg[u]].a[1][0]+=b.a[0][0]-a.a[0][0];}}
#undef ls
#undef rs
}T;int main(){
//  freopen("asd.in","r",stdin);n=read(),m=read();for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=read();for(int i=1;i<=n-1;i++){int x=read(),y=read();Add_edge(x,y);Add_edge(y,x);//记得建双向边}dfs1(1,0);top[1]=1;dfs2(1,0);dfs3(1,0);T.build(1,1,n);for(int i=1;i<=m;i++){int x=read(),y=read();T.modify(x,y);Matrix ans=T.GetMat(1);//答案就转化为所有的g[]乘起来printf("%lld\n",max(ans.a[0][0],ans.a[1][0]));}
}