常用的几个不等式:
ex≥x+1e^{x}\geq x+1ex≥x+1ln⁡x≤x−1\ln x\leq x-1lnx≤x−1ex≥exe^{x} \geq exex≥exex≥1+x+x22e^x\geq1+x+\frac{x^2}{2}ex≥1+x+2x2

当x>0时，ex≥ex+(x−1)2=x2−(e−2)x+1e^x\geq ex+(x-1)^{2}=x^2-(e-2)x+1ex≥ex+(x−1)2=x2−(e−2)x+1
上述算式在x=0或x=1时取等号。
(from:)this

1泰勒展开（麦克劳林级数）

ex=x00!+x11!+x22!+x33!+......=∑i=0∞xii!e^x=\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+......=\sum ^{\infin} _{i=0} {\frac{x^{i}}{i!}}ex=0!x0+1!x1+2!x2+3!x3+......=i=0∑∞i!xi

泰勒放缩

泰勒级数式应当是这样的：ex=x00!+x11!+x22!+x33!+......e^x=\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+......ex=0!x0+1!x1+2!x2+3!x3+......(其实就是）ex=1+x+x22!+x33!+......e^x=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+......ex=1+x+2!x2+3!x3+......
此时我们简单粗暴把这个算式截断,舍去后面的高次项。
例如，截断于二次项得：
ex≥1+x+x22e^{x}\geq 1+x+\frac{x^{2}}{2}ex≥1+x+2x2同样的，如果在一次项处截断就得到了开篇的一个不等式。ex≥1+xe^{x}\geq 1+xex≥1+x

注：由于全部函数都是在 0 处展开的，所以每一个泰勒展开式的取等点都是x=0，此处不例外

放缩部分参考：
[1]专栏霜夏の数学note at 知乎【升级の高中数学／导数】函数逼近的三种方法——泰勒展开、帕德逼近与洛朗级数,1-4
[2]第二章 : 函数放缩问题●泰勒级数

2帕德逼近

具体的帕德逼近内容可以看一下的两篇文章。
写之前特意查了一下1函数逼近的一些方法、2【升级の高中数学／导数】函数逼近的三种方法——泰勒展开、帕德逼近与洛朗级数【2】两篇文章

实际上如果仅仅是应付考试比大小的话，其实直接看九宫格右下角的公式就可以得出一个约值。ex≈x2+6x+12x2−6x+12(x∈(−2,2))e^{x}≈\frac{x^{2}+6x+12}{x^{2}-6x+12}(x\in (-2,2))ex≈x2−6x+12x2+6x+12(x∈(−2,2))

3洛朗级数

计算式：
f(z)=12πi∑k=−∞∞(z−c)k∮Ωf(z)(z−c)k+1dzf(z)=\frac{1}{2\pi i}\sum ^{\infin} _{k=-\infin} (z-c)^{k} \oint _{\Omega} \frac{f(z)}{(z-c)^{k+1}} dzf(z)=2πi1k=−∞∑∞(z−c)k∮Ω(z−c)k+1f(z)dz
这当然非常人之所能及。感兴趣的人可以看一下1和2，然后下面给出一些总结的公式

1)ex<−x2+4x+62(x−3)(x<3)1) \quad e^{x} < -\frac{x^{2}+4x+6}{2(x-3)} \quad(x<3)1)ex<−2(x−3)x2+4x+6(x<3)
2)ex≥2+x2−x(x≤0)2) \quad e^{x}\geq \frac{2+x}{2-x} \quad (x \leq 0)2)ex≥2−x2+x(x≤0)

完

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关于e^x的部分公式和约算方法

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