最大公约数、最小公倍数算法实现

2024-04-16 10:52:52

最大公约数

将数a，b的最大公约数记为gcd(a, b)

虽然依次试除也能得到最大公约数，但是还有更简单、高效、优美的算法——辗转相除法

辗转相除法的原理是基于以下恒等式：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，以及边界条件gcd(a, 0) = a

代码实现如下

def gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a%b)

以上就是传说中的欧几里得算法

最小公倍数

将数a，b的最小公倍数记为lcm(a, b)

则gcd(a, b) * lcm(a, b) = a*b，

lcm(a, b) = a*b/gcd(a, b)

证明过程如下

设，

$a = p_{1}^{e_1}} p_{2}^{e_2}}... p_{r}^{e_r}}$

$b = p_{1}^{f_1}} p_{2}^{f_2}}... p_{r}^{f_r}}$

则，

$gcd(a, b) = p_{1}^{min\{e_1, f_1\}}} p_{2}^{min\{e_2 f_2\}}}... p_{r}^{min\{e_r, f_r\}}}$

$lcm(a, b) = p_{1}^{max\{e_1, f_1\}}} p_{2}^{max\{e_2 f_2\}}}... p_{r}^{max\{e_r, f_r\}}}$

显然a*b = gcd(a, b) * lcm(a, b)

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