坐标变换的艺术—PMSM扩展反电势公式推导

本文推导Zhiqian Chen提出的扩展反电势数学模型。

PMSM在dqdqdq轴的电压方程为
[uduq]=R[idiq]+[pLd00pLq][idiq]+ωe[−ψqψd]\left[ \begin{array}{c} u_d\\ u_q\\ \end{array} \right] =R\left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} pL_d& 0\\ 0& pL_q\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\omega _e\left[ \begin{array}{c} -\psi _q\\ \psi _d\\ \end{array} \right] [uduq]=R[idiq]+[pLd00pLq][idiq]+ωe[−ψqψd]

构造次对角线对称矩阵，可得：
[uduq]=[R+pLd00R+pLq][idiq]+ωe[−LqiqLdid+ψf]\left[ \begin{array}{c} u_d\\ u_q\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} R+pL_d& 0\\ 0& R+pL_q\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\omega _e\left[ \begin{array}{c} -L_qi_q\\ L_di_d+\psi _f\\ \end{array} \right] [uduq]=[R+pLd00R+pLq][idiq]+ωe[−LqiqLdid+ψf]
进一步整理，可得：
[uduq]=[R+pLd−ωeLq0R+pLq][idiq]+ωe[0Ldid+ψf]\left[ \begin{array}{c} u_d\\ u_q\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} R+pL_d& -\omega _eL_q\\ 0& R+pL_q\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\omega _e\left[ \begin{array}{c} 0\\ L_di_d+\psi _f\\ \end{array} \right] [uduq]=[R+pLd0−ωeLqR+pLq][idiq]+ωe[0Ldid+ψf]
再次整理，可得：
[uduq]=[R+pLd−ωeLqωeLqR+pLd][idiq]+[0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]\left[ \begin{array}{c} u_d\\ u_q\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} R+pL_d& -\omega _eL_q\\ \omega _eL_q& R+pL_d\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} 0\\ \left( L_d-L_q \right) \left( \omega _ei_d-pi_q \right) +\omega _e\psi _f\\ \end{array} \right] [uduq]=[R+pLdωeLq−ωeLqR+pLd][idiq]+[0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]
为了便于后续推导，拆分矩阵可得：
[uduq]=[R−ωeLqωeLqR][idiq]+[pLd00pLd][idiq]+[0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]\left[ \begin{array}{c} u_d\\ u_q\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} R& -\omega _eL_q\\ \omega _eL_q& R\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} pL_d& 0\\ 0& pL_d\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_d\\ i_q\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} 0\\ \left( L_d-L_q \right) \left( \omega _ei_d-pi_q \right) +\omega _e\psi _f\\ \end{array} \right] [uduq]=[RωeLq−ωeLqR][idiq]+[pLd00pLd][idiq]+[0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]
坐标变换矩阵满足
[fdfq]=[cos⁡θesin⁡θe−sin⁡θecos⁡θe][fαfβ]=Tαβ/dq[fαfβ]\left[ \begin{array}{c} f_d\\ f_q\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} f_{\alpha}\\ f_{\beta}\\ \end{array} \right] =T_{\alpha \beta /dq}\left[ \begin{array}{c} f_{\alpha}\\ f_{\beta}\\ \end{array} \right] [fdfq]=[cosθe−sinθesinθecosθe][fαfβ]=Tαβ/dq[fαfβ]
在静止轴系，满足
Tαβ/dq[uαuβ]=[R−ωeLqωeLqR]Tαβ/dq[iαiβ]+[Ld00Ld]Tαβ/dqddt{[iαiβ]}+[0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]T_{\alpha \beta /dq}\left[ \begin{array}{c} u_{\alpha}\\ u_{\beta}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} R& -\omega _eL_q\\ \omega _eL_q& R\\ \end{matrix} \right] T_{\alpha \beta /dq}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_d\\ \end{matrix} \right] T_{\alpha \beta /dq}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left\{ \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] \right\} +\left[ \begin{array}{c} 0\\ \left( L_d-L_q \right) \left( \omega _ei_d-pi_q \right) +\omega _e\psi _f\\ \end{array} \right] Tαβ/dq[uαuβ]=[RωeLq−ωeLqR]Tαβ/dq[iαiβ]+[Ld00Ld]Tαβ/dqdtd{[iαiβ]}+[0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]
坐标变换因子是单位正交矩阵，满足
Tαβ/dq−1=Tαβ/dqT=[cos⁡θe−sin⁡θesin⁡θecos⁡θe]T_{\alpha \beta /dq}^{-1}=T_{\alpha \beta /dq}^{T}=\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] Tαβ/dq−1=Tαβ/dqT=[cosθesinθe−sinθecosθe]
静止轴系的电压方程为
[uαuβ]=Tαβ/dq−1[R−ωeLqωeLqR]Tαβ/dq⏟U[iαiβ]+Tαβ/dq−1[Ld00Ld]ddt{Tαβ/dq[iαiβ]}⏟V+Tαβ/dq−1[0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]⏟W\left[ \begin{array}{c} u_{\alpha}\\ u_{\beta}\\ \end{array} \right] =\underset{U}{\underbrace{T_{\alpha \beta /dq}^{-1}\left[ \begin{matrix} R& -\omega _eL_q\\ \omega _eL_q& R\\ \end{matrix} \right] T_{\alpha \beta /dq}}}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\underset{V}{\underbrace{T_{\alpha \beta /dq}^{-1}\left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_d\\ \end{matrix} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left\{ T_{\alpha \beta /dq}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] \right\} }}+\underset{W}{\underbrace{T_{\alpha \beta /dq}^{-1}\left[ \begin{array}{c} 0\\ \left( L_d-L_q \right) \left( \omega _ei_d-pi_q \right) +\omega _e\psi _f\\ \end{array} \right] }} [uαuβ]=UTαβ/dq−1[RωeLq−ωeLqR]Tαβ/dq[iαiβ]+VTαβ/dq−1[Ld00Ld]dtd{Tαβ/dq[iαiβ]}+WTαβ/dq−1[0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]
对UUU化简
Tαβ/dq−1[R−ωeLqωeLqR]Tαβ/dq⇒[cos⁡θe−sin⁡θesin⁡θecos⁡θe][R−ωeLqωeLqR][cos⁡θesin⁡θe−sin⁡θecos⁡θe]⇒[cos⁡θeR−sin⁡θeωeLq−cos⁡θeωeLq−sin⁡θeRsin⁡θeR+cos⁡θeωeLq−sin⁡θeωeLq+cos⁡θeR][cos⁡θesin⁡θe−sin⁡θecos⁡θe]⇒[R−ωeLqωeLqR]\begin{aligned} &T_{\alpha \beta /dq}^{-1}\left[ \begin{matrix} R& -\omega _eL_q\\ \omega _eL_q& R\\ \end{matrix} \right] T_{\alpha \beta /dq} \\ \Rightarrow& \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} R& -\omega _eL_q\\ \omega _eL_q& R\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow& \left[ \begin{matrix} \cos \theta _eR-\sin \theta _e\omega _eL_q& -\cos \theta _e\omega _eL_q-\sin \theta _eR\\ \sin \theta _eR+\cos \theta _e\omega _eL_q& -\sin \theta _e\omega _eL_q+\cos \theta _eR\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow& \left[ \begin{matrix} R& -\omega _eL_q\\ \omega _eL_q& R\\ \end{matrix} \right] \end{aligned} ⇒⇒⇒Tαβ/dq−1[RωeLq−ωeLqR]Tαβ/dq[cosθesinθe−sinθecosθe][RωeLq−ωeLqR][cosθe−sinθesinθecosθe][cosθeR−sinθeωeLqsinθeR+cosθeωeLq−cosθeωeLq−sinθeR−sinθeωeLq+cosθeR][cosθe−sinθesinθecosθe][RωeLq−ωeLqR]
对VVV化简
Tαβ/dq−1[Ld00Ld]ddt{Tαβ/dq[iαiβ]}⇒[cos⁡θe−sin⁡θesin⁡θecos⁡θe][Ld00Ld]ddt{[cos⁡θesin⁡θe−sin⁡θecos⁡θe][iαiβ]}⇒[cos⁡θe−sin⁡θesin⁡θecos⁡θe][Ld00Ld]{ddt[cos⁡θesin⁡θe−sin⁡θecos⁡θe]⋅[iαiβ]+[cos⁡θesin⁡θe−sin⁡θecos⁡θe]⋅ddt[iαiβ]}⇒[cos⁡θe−sin⁡θesin⁡θecos⁡θe][Ld00Ld][−sin⁡θecos⁡θe−cos⁡θe−sin⁡θe]ωe[iαiβ]+[cos⁡θe−sin⁡θesin⁡θecos⁡θe][Ld00Ld][cos⁡θesin⁡θe−sin⁡θecos⁡θe]ddt[iαiβ]⇒[0Ld−Ld0]ωe[iαiβ]+[Ld00Ld]ddt[iαiβ]\begin{aligned} &T_{\alpha \beta /dq}^{-1}\left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_d\\ \end{matrix} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left\{ T_{\alpha \beta /dq}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] \right\} \\ \Rightarrow& \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_d\\ \end{matrix} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left\{ \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] \right\} \\ \Rightarrow& \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_d\\ \end{matrix} \right] \left\{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] \right\} \\ \Rightarrow& \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_d\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ -\cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \end{matrix} \right] \omega _e\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_d\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& \sin \theta _e\\ -\sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] \\ \Rightarrow& \left[ \begin{matrix} 0& L_d\\ -L_d& 0\\ \end{matrix} \right] \omega _e\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} L_d& 0\\ 0& L_d\\ \end{matrix} \right] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] \end{aligned} ⇒⇒⇒⇒Tαβ/dq−1[Ld00Ld]dtd{Tαβ/dq[iαiβ]}[cosθesinθe−sinθecosθe][Ld00Ld]dtd{[cosθe−sinθesinθecosθe][iαiβ]}[cosθesinθe−sinθecosθe][Ld00Ld]{dtd[cosθe−sinθesinθecosθe]⋅[iαiβ]+[cosθe−sinθesinθecosθe]⋅dtd[iαiβ]}[cosθesinθe−sinθecosθe][Ld00Ld][−sinθe−cosθecosθe−sinθe]ωe[iαiβ]+[cosθesinθe−sinθecosθe][Ld00Ld][cosθe−sinθesinθecosθe]dtd[iαiβ][0−LdLd0]ωe[iαiβ]+[Ld00Ld]dtd[iαiβ]
对WWW化简
[cos⁡θe−sin⁡θesin⁡θecos⁡θe][0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]⇒{(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf}[−sin⁡θecos⁡θe]\begin{aligned} &\left[ \begin{matrix} \cos \theta _e& -\sin \theta _e\\ \sin \theta _e& \cos \theta _e\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ \left( L_d-L_q \right) \left( \omega _ei_d-pi_q \right) +\omega _e\psi _f\\ \end{array} \right] \\ \Rightarrow& \left\{ \left( L_d-L_q \right) \left( \omega _ei_d-pi_q \right) +\omega _e\psi _f \right\} \left[ \begin{array}{c} -\sin \theta _e\\ \cos \theta _e\\ \end{array} \right] \end{aligned} ⇒[cosθesinθe−sinθecosθe][0(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf]{(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf}[−sinθecosθe]
将UUU、VVV、WWW的化简结果带入原式，可得：
[uαuβ]=[R−ωeLqωeLqR][iαiβ]+[0ωeLd−ωeLd0][iαiβ]+[pLd00pLd][iαiβ]+{(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf}[−sin⁡θecos⁡θe]\left[ \begin{array}{c} u_{\alpha}\\ u_{\beta}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} R& -\omega _eL_q\\ \omega _eL_q& R\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} 0& \omega _eL_d\\ -\omega _eL_d& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} pL_d& 0\\ 0& pL_d\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left\{ \left( L_d-L_q \right) \left( \omega _ei_d-pi_q \right) +\omega _e\psi _f \right\} \left[ \begin{array}{c} -\sin \theta _e\\ \cos \theta _e\\ \end{array} \right] [uαuβ]=[RωeLq−ωeLqR][iαiβ]+[0−ωeLdωeLd0][iαiβ]+[pLd00pLd][iαiβ]+{(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf}[−sinθecosθe]
合并同类项，可得：
[uαuβ]=[R00R][iαiβ]+[pLd−ωeLq+ωeLdωeLq−ωeLdpLd][iαiβ]+{(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf}[−sin⁡θecos⁡θe]\left[ \begin{array}{c} u_{\alpha}\\ u_{\beta}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} R& 0\\ 0& R\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} pL_d& -\omega _eL_q+\omega _eL_d\\ \omega _eL_q-\omega _eL_d& pL_d\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} i_{\alpha}\\ i_{\beta}\\ \end{array} \right] +\left\{ \left( L_d-L_q \right) \left( \omega _ei_d-pi_q \right) +\omega _e\psi _f \right\} \left[ \begin{array}{c} -\sin \theta _e\\ \cos \theta _e\\ \end{array} \right] [uαuβ]=[R00R][iαiβ]+[pLdωeLq−ωeLd−ωeLq+ωeLdpLd][iαiβ]+{(Ld−Lq)(ωeid−piq)+ωeψf}[−sinθecosθe]

参考文献

【1】Chen Z, Tomita M, Doki S, et al. An extended electromotive force model for sensorless control of interior permanent-magnet synchronous motors[J]. IEEE transactions on Industrial Electronics, 2003, 50(2): 288-295.

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