快速傅立叶变换：FFT算法原理及C++实现

傅立叶变换以高等数学（微积分）中的傅立叶级数为基础发展而来，它是信号处理（特别是图像处理）中非常重要的一种时频变换手段，具有重要应用。在图像编码、压缩、降噪、数字水印方面都有重要意义。此外，快速傅立叶变换算法还位列20世纪十大算法之列，它是“动态规划”策略在算法设计中的杰出代表。本文将详细介绍图像中的傅立叶变换及其快速算法。对于傅立叶变换的数学原理还不是很理解的同学，建议参考本系列前面已经发布的傅立叶级数相关内容，争取彻底搞懂相关数学原理。一知半解、不求甚解，都是自欺欺人的表现。

本博客中的原【图像处理中的数学原理】专栏之系列文章已由“清华大学出版社”结集出版。欢迎关注我的新书《图像处理中的数学修炼》（Applied Mathematics in Digital Image Processing）——第1版（首印于2017年出版发行）、第2版（首印于2020年出版发行）同时在售。详细解释图像处理中的数学原理，为你打开一道通往图像世界的数学之门！

1. 数字图像的傅立叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅立叶变换，必须将函数f(t)定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅立叶变换。将连续函数f(t)等间隔采样就得到一个离散序

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