什么是disjoint-support？
什么是disjoint-support？
- 什么是布尔差分(boolean difference)？
- 什么是disjoint-support？
- 什么是decomposition？
- 为什么要对布尔函数进行decomposition？
- Disjunctive Decompositions
- Shannon- and disjunctive-decompositions
- case1
- case2
- case3
- Case3.a
这是原文The Disjunctive Decompositionof Logic Functions的解释。
什么是布尔差分(boolean difference)？
∂ F / ∂ x i = F x i = 0 ⊕ F x i = 1 \partial F/\partial x_i = F_{x_i=0} \oplus F_{x_i=1} ∂F/∂xi=Fxi=0⊕Fxi=1，如果 ∂ F / ∂ x i \partial F/\partial x_i ∂F/∂xi恒等于0，则说明 F F F的取值与变量 x i x_i xi无关。如果不恒等于0，则称这一类的变量集合 S F S_F SF为布尔函数 F F F的support。
什么是disjoint-support？
如果有两个布尔函数 F F F和 G G G，如果他们的 s u p p o r t support support集合并集为空，即 S F ⋂ S G = ϕ S_F \bigcap S_G = \phi SF⋂SG=ϕ，则称这两个布尔函数是disjoint-support的。
什么是decomposition？
为什么要对布尔函数进行decomposition？
首先，若将一个复杂的二级布尔函数表示转换成一个多级的表示，则它可以将输入集中在更简单和更小的逻辑块中，从而减少了面积和互连。
其次，通过证明 F F F的子函数在计算中的独立性，揭示了布尔函数 F F F计算的并行性。
Disjunctive Decompositions
对布尔函数的 F F F的分解是通过寻找其他的更简单的函数 L L L和 A i A_i Ai完成，能够使得，
F ( x i , . . . , x n ) = L ( A 1 ( x 1 , . . . ) , A 2 ( x 1 , . . . ) , . . . , A k ( x 1 , . . . ) ) (1) F(x_i,...,x_n)=L(A_1(x_1,...), A_2(x_1,...),...,A_k(x_1,...)) \tag{1} F(xi,...,xn)=L(A1(x1,...),A2(x1,...),...,Ak(x1,...))(1)
这个公式的意思就是将原始的布尔函数 F F F，拆分成 k k k个更小的函数 A i A_i Ai， A i A_i Ai之间满足disjoint-support，最后通过函数 L L L，将这些 A i A_i Ai结合在一起。
定义1： 对于函数 L ( A 1 , . . . , A k ) L(A_1,...,A_k) L(A1,...,Ak), 如果存在 k k k个非常数disjoint-support函数 A 1 , . . . , A k , n > k > = 2 A_1,...,A_k,n > k >= 2 A1,...,Ak,n>k>=2满足等式（1），则称 F F F是reduce。如果任何 L L L都不能分解 F F F，则 F F F被称为prime。
函数 A i A_i Ai被称为 F F F的分解的形式输入(formal input)。 F F F的形式输入集合表示为 F / L F/L F/L，称为 F F F的分解列表(decomposition list)。我们称 F F F的disjunctive decomposition为满足等式(1)的任意 ( L ， F / L ) (L，F/L) (L，F/L)组合。
如果F是可分解的，则可以将其分解描述为：
》有一个unique prime函数L将它分解，可以将它的formal input排列和互补（取反）。
》如果 L L L的support集合内元素个数 ∣ S L ∣ > 2 |S_L| > 2 ∣SL∣>2，那么 F / L F/L F/L中的函数也是唯一确定的，可以将它的formal input排列和互补。（没太理解）
》如果 L L L的support集合内元素个数 ∣ S L ∣ = 2 |S_L| = 2 ∣SL∣=2，那么F可以被精确地用以下方式之一分解：
（1）
我的理解是 L L L的support集合中只有 A 1 , A 2 A_1,A_2 A1,A2，那么 F = A 1 + A 2 F=A_1 + A_2 F=A1+A2，其中 L L L的功能即 O R OR OR。
（2）
没懂。可能是F被分解成 F = A 1 + A 2 ‾ F=\overline{A_1+A_2} F=A1+A2这样？
（3）
这里 F F F被分解成 F = A 1 ⊕ A 2 F=A_1 \oplus A_2 F=A1⊕A2或者 F = A 1 ⊙ A 2 F=A_1 \odot A_2 F=A1⊙A2。
Shannon- and disjunctive-decompositions
大概像这样，
目的是通过 F 0 F_0 F0和 F 1 F_1 F1的分解最终推断出 F F F的分解。
论文里说 F F F的分解和他的余因子之间的联系概念很简单。例如，如果一个函数 A A A属于 F 0 F_0 F0和 F 1 F_1 F1的分解树，则该函数 A A A一定属于 F F F的分解树。
不过，在实践中需要考虑几个案例和子案例。如下，
在函数 F F F的分解中，最上面的变量 z z z只能以以下四种方式中的一种出现：
接下来详细分析这四种情况。
case1
在这种情况中, F ( z = 0 ) , F ( z = 1 ) F ( z = 0), F ( z = 1) F(z=0),F(z=1)其中一个必须是常数。假设 F 1 = 1 F_1=1 F1=1，则 F = F 0 + z F=F_0+z F=F0+z，因此 F F F的分解类型是 O R OR OR。且F的分解列表是 F 0 + z F_0+z F0+z。
这个实际上是有点简化的，我们知道 F = z ‾ F 0 + z F 1 F=\overline{z}F_0+zF_1 F=zF0+zF1，那么当 F 1 = 1 F_1=1 F1=1的时候，这个式子就变为 F = z ‾ F 0 + z F=\overline{z}F_0+z F=zF0+z，根据布尔化简，得到 F 0 + z F_0+z F0+z。
case2
在这种情况下，需要 F 0 = F 1 ‾ F_0=\overline{F_1} F0=F1。我们只要验证了 F 0 = F 1 ‾ F_0=\overline{F_1} F0=F1，那么足以推断出 F F F的分解为 F = z ⊕ F 0 F=z \oplus F_0 F=z⊕F0。
因为当 z = 0 z=0 z=0时， F = 0 ⊕ F 0 = F 0 F=0 \oplus F_0=F_0 F=0⊕F0=F0；当 z = 1 z=1 z=1时， F = 1 ⊕ F 0 = F 0 ‾ = F 1 F=1 \oplus F_0=\overline{F_0}=F_1 F=1⊕F0=F0=F1。能够符合等式 F = z ‾ F 0 + z F 1 F=\overline{z}F_0+zF_1 F=zF0+zF1。
case3
情况3，指的是如果top variable z属于F的formal input的情况。
Case3.a
F 0 F_0 F0和 F 1 F_1 F1能够被同一个函数L分解。且 F 0 F_0 F0和 F 1 F_1 F1的分解列表（形式输入，formal input）是重合的，只有 A ( z = 0 ) A(z=0) A(z=0)和 A ( z = 1 ) A(z=1) A(z=1)不同。
假设， F 0 F_0 F0和 F 1 F_1 F1的分解分别含有函数 A 0 A_0 A0和 A 1 A_1 A1，则
只要有 A 0 = A 1 = 0 A_0=A_1=0 A0=A1=0或者 A 0 = A 1 = 1 A_0=A_1=1 A0=A1=1就有， F 0 ( A 0 = 0 ) = F 1 ( A 1 = 0 ) F_0(A_0=0)=F_1(A_1=0) F0(A0=0)=F1(A1=0) and F 0 ( A 0 = 1 ) = F 1 ( A 1 = 1 ) F_0(A_0=1)=F_1(A_1=1) F0(A0=1)=F1(A1=1)。
这个例子的top variable选择的是变量a。
所以当 a = 0 a=0 a=0， F 0 = M a j o r i t y ( b , c + e , f g ) F_0=Majority(b,c+e,fg) F0=Majority(b,c+e,fg)；当 a = 1 a=1 a=1， F 1 = M a j o r i t y ( d , c + e , f g ) F_1=Majority(d,c+e,fg) F1=Majority(d,c+e,fg)。这两个余因子的形式输入就分别是 b , c + e , f g b,c+e,fg b,c+e,fg和 d , c + e , f g d,c+e,fg d,c+e,fg。所以只要b和d相等就满足上面提到的推论。
这里就能看出，top variable a a a就属于 F F F的一个形式输入 a ‾ b + a d \overline{a}b+ad ab+ad，另外几个形式输入分别是 c + e c+e c+e， f g fg fg。 根据上面的等式(5)，令 A 0 = b , A 1 = d A_0=b,A_1=d A0=b,A1=d。因此，可以推断出F的分解为 a ‾ b + a d , c + e , f g \overline{a}b+ad,c+e,fg ab+ad,c+e,fg。
如果函数 F = M a j o r i t y ( a ⊕ b , c + e , f g ) F=Majority(a\oplus b,c+e,fg) F=Majority(a⊕b,c+e,fg)，选择top variable为a。则当 a = 0 a=0 a=0， F 0 = M a j o r i t y ( b , c + e , f g ) F_0=Majority(b,c+e,fg) F0=Majority(b,c+e,fg)；当 a = 1 a=1 a=1， F 1 = M a j o r i t y ( b ‾ , c + e , f g ) F_1=Majority(\overline{b},c+e,fg) F1=Majority(b,c+e,fg)。根据case2， A 1 = A 0 ‾ A_1=\overline{A_0} A1=A0，令 A 0 = b , A 1 = b ‾ A_0=b,A_1=\overline{b} A0=b,A1=b可以得到 A = z ‾ A 0 + z A 1 = z ⊕ A 0 A=\overline{z}A_0+zA_1=z\oplus A_0 A=zA0+zA1=z⊕A0。因此F的分解列表包括 z ⊕ A 0 , c + e , f g z\oplus A_0,c+e,fg z⊕A0,c+e,fg。
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