图片相似度计算：深入理解DCT变换以及感知哈希

缘起

Android上硬件编解码一直是个老大难问题，就解码来说，硬解码本身并不困难，只要按照MediaCodec的流程开发即可。但由于系统碎片化，硬件规格不一致，硬件解码会到黑屏，花屏，绿屏之类的显示问题。为了不招致用户投诉，我们在做视频解码的时候不太敢开启硬件加速，一般会采用保守策略，即以软解为主，优先保证画面正常，但牺牲了性能。

一般解决这个问题的方案是使用黑(白)机型名单下发配置(如：腾讯视频)，或者暴露开关让用户手动去控制是否走硬件解码(如：bilibili)。

使用机型黑(白)名单有一定的作用，但其问题也显而易见：

需要浪费大量的人力，精力进行机型测试，去维护，发布名单
覆盖度偏低，一般只覆盖TOP机型
缺乏时效性，例如新机型上市不能及时跟进
不一定准确，因为硬解是否成功，跟视频源也有很大关系，同一个机型可能解这个视频不成功，另外一个视频又是成功的。按照机型\u0026quot;一刀切\u0026quot;的前提是要保证视频规格一致，这样才最健壮。

通过开关让用户切换体验太差，尤其是“抖音”之类的短视频App，总不能每个界面加个开关让用户去切换解码器这么深奥的东西吧，从用户角度讲，我为什么要关心这个什么解码器怎么设置，只要视频能正常看就行。

仔细思考一下，我们其实可以实现自动化的检测，即模拟人工检测流程，把样本视频各软硬解一遍，然后对比他们的解码结果(图片)就能够知道硬解码是否能跑通。解码的流程轻车熟路，那么这里的关键问题就是我们如何进行图片对比？如何量化图片的差异度？

图片检索技术

图片对比其实跟\u0026quot;以图搜图\u0026quot;本质上是同一种技术，通常有几种做法MSE，均值哈希，色彩直方图以及OpenCV里面一些提取图像特征的高级算法，如Sift,Surf等。基于移动端的运行效率，安装包大小，以及需求本身考虑，我们放弃引入OpenCV。MSE 属于逐像素对比，对像素值要求过于严格，太简单粗暴，色彩直方图不太好量化差异度。基于以上考虑，我们选择图像哈希算法，它可以输出汉明距离，方便量化软硬解结果的差异度。

哈希算法有三种，平均哈希，感知哈希和差异度哈希，基于准确度考虑，我们选择实现较复杂一些的感知哈希算法。另基于性能考虑，我们在Android平台上使用C++实现算法，通过JNI接口给Java调用。Java层输入Android的Bitmap对象，输出为图片指纹，再通过对比指纹的汉明距离，我们即可判断出来解码是否正常。

Java层接口签名如下：

public native long getHash(Bitmap bitmap, int algorithm);public native long getHammingDistance(long hash1, long hash2);

下面分析一下感知哈希实现的方法和背后的原理，使之知其然，知其所以然。

图片的构成

图一

图二

我们知道图片由RGB三原色构成这称之为加色法，我们可以认为图片有三个维度（暂不考虑Alpha）。分析上面两幅图，图一为原图，可以发现图片里蕴含的大部分信息都是低频的，比如天空，绿叶，树枝等，他们很少变化。高频信息是小鸟的眼睛，嘴巴等细节。图二是把图一经过缩放且只保留亮度信息，可以看到这有效的移除了图片的细节，即高频信息，展示了图片的低频部分。图片的低频部分决定了图片的大体结构，高频部分则完善了图片的细节。我们在对比图片是否相似的时候，其实更关注的是中低频部分的差异度。

在实践中，我们可以把图片从RGB转换为YCbCr格式，只提取Y的部分参与计算，实现降维，以减少运算量。再把图片缩放到32*32大小，丢弃掉大部分高频信息。由于进行了降维和缩放，后续步骤我们的运算量已大大减少。
把图片从空域转换到频域，我们需要使用DCT（二维离散余弦变换）。DCT也是JPEG以及H264压缩算法的核心部分，感兴趣的可以继续深入了解视频压缩算法的相关研究。

感知哈希与DCT（离散余弦变换）

为了让大家深入了解背后的原理，这里打算展开介绍一下DCT，以及它为什么能检测出来图片的相似程度。本文恐怕是网络上能找到讲解DCT最详细的一篇文章了，如果你对背后的原理不感兴趣，也可以直接跳过。

从空域到频域

DCT由如下的公式定义，N和M为矩阵的行数和列数

$$
\\begin{equation}
F(u, v) = \\left (\\frac{2}{N} \\right )^{\\frac{1}{2}} \\left (\\frac{2}{M} \\right )^{\\frac{1}{2}} C(u)C(v) \\sum_{i=0}^{N-1}\\sum_{j=0}^{M-1} f(i,j)cos\\left [\\frac{\\left(2i+1\\right)u\\pi}{2N} \\right ]cos\\left [\\frac{\\left(2j+1\\right)v\\pi}{2N} \\right ]
\\end{equation}
$$

$$
C(\\varepsilon) =
\\begin{cases}
\\frac{1}{\\sqrt{2}}\u0026amp; \\text{for}\\ \\varepsilon = 0\\\\\\
1\u0026amp; \\varepsilon\u0026gt;0
\\end{cases}\\
$$

其中：

u,v = 离散频率变量(0,1,2…7)
f(i,j) = 图像在i行j列的像素值
F(u,v) = DCT结果

我们先研究一个最简单的场景，假设图片像素值如下：

$$
\\begin{bmatrix}
1 \u0026amp;3 \\\\\\
2\u0026amp; 0
\\end{bmatrix}
$$

当N和M都为2时，上述公式可简化为：

$$
\\begin{equation}
F(u,v) = C(u)C(v) \\sum_{i=0}^{1}\\sum_{j=0}^{1} f(i,j)cos\\left [\\frac{\\left(2i+1\\right)u\\pi}{4} \\right] cos\\left [\\frac{\\left(2j+1\\right)v\\pi}{4} \\right]
\\end{equation}
$$

下面我们来计算二维DCT

即，结果是：

$$
\\begin{bmatrix}
3\u0026amp;0\\\\\\
1\u0026amp;-2
\\end{bmatrix}
$$

用Python的相关模块可以交叉验证我们的计算结果：

\u0026gt;\u0026gt;\u0026gt; import numpy as np\u0026gt;\u0026gt;\u0026gt; from scipy.fftpack import dct\u0026gt;\u0026gt;\u0026gt; d=np.matrix([[1,3],[2,0]])\u0026gt;\u0026gt;\u0026gt; dct(dct(d,axis=0,norm=\u0026quot;ortho\u0026quot;),axis=1,norm=\u0026quot;ortho\u0026quot;)array([[ 3.,  0.],       [ 1., -2.]])

在实践上，上述方式的计算效率不高，更加简便的计算方式是使用DCT矩阵：

若N取2，得到DCT矩阵

$$
\\begin{vmatrix}
\\frac{1}{\\sqrt{2}} \u0026amp; \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\\\
cos(\\frac{\\pi}{4}) \u0026amp; cos(\\frac{3\\pi}{4})
\\end{vmatrix}
$$

若N取8，得到的矩阵是这样的

其中i=0时，即第0行，称为DC分量，i=1-7成为AC分量，用图表形式表示如下

i=1

i=2

i=3

i=4

i=5

i=6

i=7

有这样一个矩阵的话，我们再进行DCT变换就非常简单了：

$$
D=TMT^T
$$

其中：

T = DCT矩阵
M = 图像数据
D = DCT结果

这是对一张8*8图片应用DCT变换得到的矩阵结果：

这个矩阵最左上角是低频信息，右下角是高频信息。有个神奇的东西叫基准样式。

信不信由你，任意一张8*8的图，都可以由标准图中的的小图以一定比例叠加而合成，而每个小图的权重，由DCT变换得到的矩阵决定，是不是很有意思。DCT变换后左上角一般是比较大的数字，而右下角一般是比较小的数字，这暗含了图片中低频信息占的比重较多，因此我们在做图片或者视频编码压缩的时候，正是通过量化舍弃右下角的高频信息，来实现信息的压缩。

图片差异度

我们在对比图片差异的时候，正是通过对比频域信息来实现的。在我们的实现中，首先把软硬件解码后的图片转成YCbCr格式，只提取其中的Y，实现降维，再把图片缩放到32*32大小，进一步减少运算量，同时舍弃了一部分高频信息。再应用32*32的DCT把图片转换到频域，从频域矩阵中提取8*8中低频区域的系数，计算算数平均值。

$$
D = \\frac{\\sum_{i=2}^{9}\\sum_{j=2}^{9}f(i,j)}{64}
$$

矩阵中的每个值再与D比较，大于D计1，小于D计0，按位存储，我们即可得到一个图片指纹。通过计算两个图片指纹的差异，我们就可以得到可以量化图片差异度的数字。
当差异为0时，我们认为两张图片完全一样，差异越大，表明图片越不相似。对于解码出现绿屏，花屏的情况，我们可以有效的检测出来。

绿屏案例，相似度24:

花屏案例，相似度20:

检测Demo截图: