AcWing4084 号码牌 (并查集 / bitset优化Floyd)

题目链接: 号码牌

大致题意

给定一个长度为nnn的序列, 第iii个位置的值为aia_iai. (保证aaa是111~nnn的一个排列)

每个位置还有一个值did_idi, 若满足∣i−j=di∣|i-j=d_i|∣i−j=di∣, 表示位置iii和位置jjj可以进行任意次交换.

问: 能否使得最终的序列满足ai=ia_i = iai=i.

解题思路

并查集 (数据太小了, 比赛时写了个Floyd)

由于两个位置的交换次数是任意次. 因此, 如果xxx和yyy可以交换, 且yyy和zzz可以交换, 则x,y,zx, y, zx,y,z三个位置处的aaa值可以互换.

上述分析可以推广到一个有限大小的连通集合中.

因此, 我们只需要判断每个连通集合内部aia_iai值是否和该集合下标iii相同即可.

Floyd

设mp[]mp[]mp[], 其中mp[val]mp[val]mp[val]记录valvalval元素所处原序列的位置.

我们考虑题目的本质: 如果有ai≠ia_i \ne iai=i, 表明iii位置需要与mp[a[i]]mp[a[i]]mp[a[i]]位置进行交换. 即: 我们需要判断i,ji, ji,j两个位置是否可达. 我们比较容易想到通过多源最短路进行处理.

考虑到本题并不需要求出两点的距离, 只需要判断是否可达, 因此若采用FloydFloydFloyd算法, 第三层循环可以认为是在求并集, 我们可以通过bitsetbitsetbitset进行优化.

写上这个做法, 主要感觉这个题作为bitsetbitsetbitset优化FloydFloydFloyd入门题很友好.

AC代码

并查集DSU

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1E2 + 10;
int a[N], d[N];/* 并查集模版 */
struct DSU {int p[N];int find(int x) { return x == p[x] ? x : p[x] = find(p[x]); }void merge(int a, int b) {a = find(a), b = find(b);if (a == b) return;p[b] = a;}void init(int n) { rep(i, n) p[i] = i; }
}dsu;vector<int> v1[N], v2[N];
int main()
{int n; cin >> n;rep(i, n) scanf("%d", &a[i]);rep(i, n) scanf("%d", &d[i]);dsu.init(n);rep(i, n) {int x = i - d[i], y = i + d[i];if (x >= 1) dsu.merge(i, x);if (y <= n) dsu.merge(i, y);}rep(i, n) v1[dsu.find(i)].push_back(a[i]), v2[dsu.find(i)].push_back(i);bool flag = 1;rep(i, n) {if (i != dsu.find(i)) continue;sort(v1[i].begin(), v1[i].end());if (v1[i] != v2[i]) flag = 0;}puts(flag ? "YES" : "NO");return 0;
}

Floyd + bitset

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1E2 + 10;
int a[N], d[N], mp[N];
bitset<N> can[N];void fact(int a, int b) { can[a][b] = can[b][a] = 1; }
int main()
{int n; cin >> n;rep(i, n) scanf("%d", &a[i]), mp[a[i]] = i;rep(i, n) {scanf("%d", &d[i]);if (i - d[i] > 0) fact(i, i - d[i]);if (i + d[i] <= n) fact(i, i + d[i]);can[i][i] = 1;}rep(k, n) rep(i, n) {if (can[i][k]) can[i] |= can[k];}bool flag = 1;rep(i, n) flag &= can[i][mp[i]];puts(flag ? "YES" : "NO");return 0;
}

END