leetcode刷题日记- 超级次方

题目描述：
你的任务是计算 ab 对 1337 取模，a 是一个正整数，b 是一个非常大的正整数且会以数组形式给出
示例
输入：a = 2, b = [3]
输出：8
输入：a = 2147483647, b = [2,0,0]
输出：1198
解析：这是一个看起来很简单，实质上很复杂的题目，前提是如果你知道余数定理和快速幂的话，如果不知道这就是一个很难的题目了。再将余数定理之前，先说一下快速幂，这题就是快速幂+余数定理的结合。
先说说快速幂的问题，讲快速幂之前先说一说分治的思想。比如我们要算5²³⁴的值，如果我们直接算234个5相乘，计算次数是很多的，是235次，但是我们可以采用分治的思想，比如234可以拆解成2100+310+4，那么5²³⁴=5^2*100+3*10+4=5^2*100*5^3*10*5⁴，这样幂的次数就降低了很多，关于原来的式子还可以进一步分治，将每次的幂分解为10以内的式子，如5^2*100= ((5²)¹⁰)¹⁰,以此类推，从而将每个幂将为10以内的数字，来减少运算次数，分治之后我们的计算次数为3+2+1=6次，可见运算次数大大减少。实际中的快速幂为了方便运算，采用了更为简单的二分思路。即如果我还是要算5²³⁴，计算过程如下
5²³⁴=5^234/2*5^234/2=5¹¹⁷*5¹¹⁷
5¹¹⁷=5^117-1*5 （117为基数，因此要拆解为aⁿ=a^n-1*a）
5¹¹⁶=5^116/2* 5^116/2
…以此类推
到这里就很明显了，实际中的快速幂大多采用递归的方式进行运算，将O(n)的时间复杂度降低为了O(log n)的时间复杂度。
余数定理主要有三个
1-余数的加法定理：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数（如果余数之和大于c），即(a+b)%c = (a%c+b%c)%c。
2-余数的乘法定理：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数（如果余数之积大于c），即(a*b)%c = (a%c*b%c)%c，这里有一个特例，如果a=b，那么(a*b)%c =((a%c)²)%c，假设a%b=c那么，就有(a^m)%b=(c^m)%b，这个公式就是解决这道题的关键。
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。这个就简单提一下，本题用不到。
代码如下：

class Solution:def superPow(self, a: int, b: List[int]) -> int:"""计算a的b次幂对1337取模，b以数组的形式给出>>>self.superPow(2, [1, 0])>>>1024"""res = 1for i in b:res = res%1337res = (res**10)*(a**i)return res%1337

代码解读，本例用了快速幂的思想和余数定理的第二条，再每一次对res进行整体幂运算的时候对res进行取余，因为res%1337等价于(res¹⁰)%1337。

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