凸优化第二章凸集 2.6 对偶锥与广义不等式
2.6 对偶锥与广义不等式
- 对偶锥
- 广义不等式的对偶
- 对偶不等式定义的最小元和极小元
对偶锥
锥K的对偶锥是集合
如上图左图的y是K的对偶锥的一个元素,右图z不是K的对偶锥的元素,几何上看当且仅当-y是K在原点的一个支撑超平面的法向量。
广义不等式的对偶
如果K是正常锥,则K可导出一个广义不等式,并且K的对偶也是正常锥,其对偶也可以导出一个广义不等式。
定义:广义不等式为广义不等式的对偶。
对偶不等式定义的最小元和极小元
x是集合S上关于广义不等式的最小元的充要条件是,,x是在上极小化的唯一最优解。
几何上意味着,,超平面是S在x处的一个严格支撑超平面(即这个超平面至于S相交于x一个点,换句话说,,超平面都只与S相交于点x。)。
x是集合S上关于广义不等式的极小元的充要条件是,对于一些,x是在上极小化。
类似于最小元的几何意义,极小元就是对于某些,超平面与S相交于该极小元。
如上图是极小化的解,是极小化的解。
来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86498586
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