欧式距离、曼哈顿距离、余弦相似度（python代码）

欧式距离/欧几里得度量（Euclidean Distance）

欧氏距离就是两点之间最短的直线距离。
（1）二维空间里A、B两点间的欧式距离：
SAB=(xA−xB)2+(yA−yB)2S_{AB}= \sqrt{\def\bar#1{#1^2} \bar{(x_A-x_B)}+\def\bar#1{#1^2} \bar{(y_A-y_B)}} SAB=(xA−xB)2+(yA−yB)2
（2）推广到nnn维空间内的两点P、QP、QP、Q：
P=(x1P,x2P,...,xnP),Q=(x1Q,x2Q,...,xnQ)P=(x_1^P,x_2^P,...,x_n^P),Q=(x_1^Q,x_2^Q,...,x_n^Q) P=(x1P,x2P,...,xnP),Q=(x1Q,x2Q,...,xnQ)
P、QP、QP、Q点间的欧式距离：
SPQ=(x1P−x1Q)2+(x2P−x2Q)2+...+(xnP−xnQ)2S_{PQ}= \sqrt{\def\bar#1{#1^2} \bar{(x_1^P-x_1^Q)}+\def\bar#1{#1^2} \bar{(x_2^P-x_2^Q)}+...+\def\bar#1{#1^2} \bar{(x_n^P-x_n^Q)}} SPQ=(x1P−x1Q)2+(x2P−x2Q)2+...+(xnP−xnQ)2
用向量形式xP、xQ\bold{x^P}、\bold{x^Q}xP、xQ表示两个点，两点之间的距离可用L2范数表示：
SPQ=∥xP−xQ∥S_{PQ}=\|\bold{x^P}-\bold{x^Q}\| SPQ=∥xP−xQ∥
欧式距离的计算代码：

import numpy as npx1=[1,1]
x2=[2,2]
x1_np = np.array(x1)
x2_np = np.array(x2)# 直接用公式计算
dist1 = np.sqrt(np.sum((x1_np-x2_np)**2))# 使用内置范数函数计算
dist2 = np.linalg.norm(x1_np,x2_np)print(f"d1={dist1},d2={dist2}\n")

曼哈顿距离(Manhattan Distance)

如果乘坐出租车从曼哈顿街头的A路口到B路口，行进距离必须按照路网规则进行移动，而不可能直接穿行。

所以与两点间的直线距离不同，曼哈顿距离指的是“导航距离”。可以用L1范数来表示。

（1）二维空间里A(x1,y1)、B(x2,y2)A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)A(x1,y1)、B(x2,y2)两点间的曼哈顿距离：
SAB=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣S_{AB}=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| SAB=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣
（2）推广到nnn维空间内的两点P、QP、QP、Q：
SPQ=∑i=1n∣xiP−xiQ∣S_{PQ}=\sum_{i=1}^n|x_i^P-x_i^Q| SPQ=i=1∑n∣xiP−xiQ∣
计算代码：

import numpy as npx1=[1,2]
x2=[5,6]
x1_np = np.array(x1)
x2_np = np.array(x2)dist3 = np.sum(np.abs(x1_np-x2_np))
print(f"d3={dist3}\n")

余弦相似度

余弦夹角一般用来测量两个样本之间的相似性。常用于图像特征向量之间的相似度比对。

数学上可以通过向量的点积计算两个向量之间的余弦夹角：
cos⁡θ=A⋅B∣A∣∣B∣=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22\cos{\theta}=\frac{\bold{A}\sdot\bold{B}}{|\bold{A}||\bold{B}|} = \frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}} cosθ=∣A∣∣B∣A⋅B=x12+y12x22+y22x1x2+y1y2
拓展到nnn维空间的P、QP、QP、Q向量：
cos⁡θ=xPTxQxPTxPxQTxQ\cos{\theta}=\frac{\bold{x_P}^T \bold{x_Q}}{\sqrt{\bold{x_P}^T \bold{x_P}}\sqrt{\bold{x_Q}^T \bold{x_Q}}} cosθ=xPTxPxQTxQxPTxQ
计算代码：

from __future__ import division#使除法变为精确除法
import numpy as npx1=[1,2,3,4]
x2=[2,3,4,6]
x1_np = np.array(x1)
x2_np = np.array(x2)# 直接用公式计算
result1 = np.dot(x1_np,x2_np)/(np.sqrt(x1_np,x1_np)*np.dot(x2_np,x2_np))# 直接用np内置函数计算
result2 = np.dot(x1_np,x2_np)/(np.linalg.norm(x1_np)*np.linalg.norm(x2_np))# 计算夹角大小
theta = np.arccos(result1)print(f"result1={result1},result2={result2},theta={theta}\n")