原文：https://blog.csdn.net/u013445530/article/details/42811635

一：基本概念

1：什么是生成树？

对于图G<V,E>,如果其子图G'<V',E'>满足V'=V，且G'是一棵树，那么G'就是图G的一颗生成树。生成树是一棵树，按照树的定义，每个顶点都能访问到任何一个其它顶点。（离散数学中的概念），其中V是顶点，E是边，通俗来讲生成树必须包含原图中的所有节点且是连通的

比如

2：最小生成树

一个无向连通图G=(V,E)，最小生成树就是联结所有顶点的边的权值和最小时的子图T，此时T无回路且连接所有的顶点，所以它必须是棵树。就是将原图的n个顶点用

n-1条边的权值夹起来最小的且连通没有回路的图

二：求法

最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出

Prim（普里姆）算法

MST（Minimum Spanning Tree，最小生成树）问题有两种通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是从点的方面考虑构建一颗MST，大致思想是：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

用图示和代码说明：

初始状态：

设置2个数据结构：

lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边的最小权值=0,也就是表示i点加入了MST

mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边<mst[i],i>是MST的一条边，当mst[i]=0表示起点i加入MST

我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）

明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边<mst[3],3>=1加入MST

此时，因为点V3的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边<mst[6],6>=4加入MST

此时，因为点V6的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边<mst[4],4>=4加入MST

此时，因为点V4的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边<mst[2],2>=5加入MST

此时，因为点V2的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边<mst[5],5>=3加入MST

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

至此，MST构建成功，如图所示：

根据上面的过程，可以容易的写出具体实现代码如下（cpp）：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff/*
测试数据如下：
7 11
A B 7
A D 5
B C 8
B D 9
B E 7
C E 5
D E 15
D F 6
E F 8
E G 9
F G 11输出
A - D : 5
D - F : 6
A - B : 7
B - E : 7
E - C : 5
E - G : 9
Total:39*/int graph[MAX][MAX];int Prim(int graph[][MAX], int n)
{/* lowcost[i]记录以i为终点的边的最小权值，当lowcost[i]=0时表示终点i加入生成树 */int lowcost[MAX];/* mst[i]记录对应lowcost[i]的起点，当mst[i]=0时表示起点i加入生成树 */int mst[MAX];int i, j, min, minid, sum = 0;/* 默认选择1号节点加入生成树，从2号节点开始初始化 */for (i = 2; i <= n; i++){/* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */lowcost[i] = graph[1][i];/* 标记所有节点的起点皆为默认的1号节点 */mst[i] = 1;}/* 标记1号节点加入生成树 */mst[1] = 0;/* n个节点至少需要n-1条边构成最小生成树 */for (i = 2; i <= n; i++){min = MAXCOST;minid = 0;/* 找满足条件的最小权值边的节点minid */for (j = 2; j <= n; j++){/* 边权值较小且不在生成树中 */if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0){min = lowcost[j];minid = j;}}/* 输出生成树边的信息:起点，终点，权值 */printf("%c - %c : %d/n", mst[minid] + 'A' - 1, minid + 'A' - 1, min);/* 累加权值 */sum += min;/* 标记节点minid加入生成树 */lowcost[minid] = 0;/* 更新当前节点minid到其他节点的权值 */for (j = 2; j <= n; j++){/* 发现更小的权值 */if (graph[minid][j] < lowcost[j]){/* 更新权值信息 */lowcost[j] = graph[minid][j];/* 更新最小权值边的起点 */mst[j] = minid;//如果不用打出路径的话这个数组是不需要的
            }}}/* 返回最小权值和 */return sum;
}int main()
{int i, j, k, m, n;int x, y, cost;char chx, chy;/* 读取节点和边的数目 */scanf("%d%d", &m, &n);getchar();/* 初始化图，所有节点间距离为无穷大 */for (i = 1; i <= m; i++){for (j = 1; j <= m; j++){graph[i][j] = MAXCOST;}}/* 读取边信息 */for (k = 0; k < n; k++){scanf("%c %c %d", &chx, &chy, &cost);getchar();i = chx - 'A' + 1;j = chy - 'A' + 1;graph[i][j] = cost;graph[j][i] = cost;}/* 求解最小生成树 */cost = Prim(graph, m);/* 输出最小权值和 */printf("Total:%d/n", cost);return 0;
}

kruskal（克鲁斯卡尔）算法

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1001;
const int E = 1000000;
int n, M;
int cent;
int a[N];
int Count = 0;  typedef struct
{  int x;  int y;  double vaule;
}dian;
dian m[E];  typedef struct
{  double x, y;
}situation;
situation p[N];  double dis(situation a, situation b)
{  return sqrt((a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}  bool cmp(dian a, dian b)
{  return a.vaule < b.vaule;
}  void init()
{  //                   cent 这里应该初始化到n  for (int i = 1; i <= n; i++)  {  a[i] = i;  }
}  int Find(int x)
{  while (x != a[x])  {  x = a[x];  }  return x;
}  void Union(int x, int y)
{  // 建议做路径压缩  int fx = Find(x);  int fy = Find(y);  if (fx != fy)  {  a[fx] = fy;  }
}
//kruskal模板
double Kruskal()
{  // init(); 不应该在这里init  sort(m, m + cent, cmp);  double result = 0;  for (int i = 0; i < cent&&Count != n - 1; i++)  {  if (Find(m[i].x) != Find(m[i].y))  {  Union(m[i].x, m[i].y);  result += m[i].vaule;  Count++;  }  }  return result;
}  int main()
{  while (cin >> n >> M)  {  for (int i = 1; i <= n; i++)  {  cin >> p[i].x >> p[i].y;  }  cent = 0;  Count = 0;  for (int i = 1; i <= n; i++)  {  for (int j = i + 1; j <= n; j++)  {  m[cent].x = i;  m[cent].y = j;  m[cent++].vaule = dis(p[i], p[j]);  }  }  // init不应该放在Kruskal里面
        init();  for (int i = 1; i <= M; i++)  {  int a, b;  cin >> a >> b;  // 这里还是要检查Find a 和 Find b是不是一样，不然Count会错  if (Find(a) != Find(b)) {  Union(a, b);  Count++;  }  }  printf("%.2f\n", Kruskal());  }  return 0;
}