点乘 线性代数_如果看了这些还不懂线性代数,你就来锤我和广坤
引言:线性代数是数据科学的基础知识之一,3Blue1Brown也是非常有名的数学讲解频道。去年TDU的谢洛克在学习过3Blue1Brown线性代数的视频后,写下了备受欢迎的两篇学习笔记,再次分享给大家,同时也推荐有线性代数学习需求的伙伴们去看这一系列的视频。
多年以后,当谢洛克站在菲尔兹奖的领奖台上,一定会想起她看到 3Blue1Brown 视频的那个晚上。
3Blue1Brown 的 Essence of linear algebra 系列视频(链接见文末)是我迄今见过最棒的线性代数视频。
Grant Sanderson(3Blue1Brown 创办者)一反教科书上抽象、枯燥的公式教学,引导观众进入奇妙的“线性代数几何化世界”,用人话讲就是把线性代数可视化了。再加上感人的时长(一共13集,每集仅10分钟左右)、可爱的动画,简直让人爱不释手。
在视频底下的评论也不乏 “万万没想到,从不热爱学习的我竟然被这个数学视频深深吸引了”、“难以置信我竟然心甘情愿为数学熬夜”、“天呐为什么我研究生毕业才看到这个视频,当初我学线代吃了多少苦啊”、“教科书为什么不能跟这看齐”的赞誉之词,可见这系列视频的质量和在群众中的口碑。
好了言归正传。在如饥似渴的学习中我也做了一些学习笔记,在此共享给大家。
简便起见,下面仅讨论二维空间中的情况(更高维的也同理,只需动动你聪明的小脑瓜),所提及的矩阵也仅限于方阵。
向量
向量大家都懂的,请想象一个在坐标轴中有方向、有长度的箭头。
基向量
向量最本质的两个运算就是数乘( scaling)和加法(additive)。
牢记加法和数乘,你就可以在线性代数的世界里所向披靡。
让我们来看图。 是基向量,二维空间中所有的向量都可以由它们俩的组合来表示(选择为,为是由于它们简洁直观,你也可以选择其他向量作为你的基向量,只要它们不共线就行)。怎么组合?比如这个向量其实就是向量反向1倍,向量伸长2倍,然后相加。基向量的伸长和缩短,就是所谓的数乘,而后的相加就是加法。
线性变化
看到这个,你是不是条件反射式地开始回忆课本上的计算公式,什么捉对相乘再相加之类的。不要这样做。让我们把这些数字放到几何学中,轻松地得出结果。
首先,右边是个向量。如果有个坐标轴,你可以想象出它是从原点出发,箭头在5 7位置的向量。用基向量表示就是。
左边是个矩阵,矩阵有什么几何意义呢?矩阵的几何意义是线性变换。所谓线性变换,就是坐标轴的旋转、伸缩。下图就是一个线性变换。你可以看到,坐标轴从你熟悉的横平竖直(白格子)变成了斜斜的、长度也有所伸长的新坐标轴(蓝格子)。原来的变成了橙箭头,原来的变成了绿箭头。用矩阵表示就是。
OK,之后你再见到方阵,你就知道这是一个线性变换,变换后的基向量分别是矩阵的两个列。
所以上面的计算其实是在问,在横平竖直的坐标轴里的向量,随着坐标轴经历了线性变换后,成了一个新的向量,这个向量是什么?
很好回答。因为线性变换保持网格平行且等距,所以这个向量以前是,
那么变换后依然如此,只不过换新了。按照下图这样计算就可以了。所以说,万变不离其宗,矩阵乘向量的计算依然是向量运算的本质——数乘和加法(先和基向量数乘,然后相加,即是结果)。
到了这里,你已经掌握了几乎所有的核心要点。
矩阵乘法
你已经理解矩阵乘向量可以看作向量在线性变化后的新位置,那么矩阵乘以矩阵从几何学角度怎么理解呢?抛弃你头脑中那些背下来的公式,回忆一下上一部分的内容。我们把一个矩阵看作线性变换,第一列是向量,第二列是向量。那么其实一个矩阵就是两个向量。于是很自然的,这个矩阵左乘一个矩阵,就是对这两个向量分别求新位置。问题又回到了上部分的内容。
行列式
行列式的几何意义是面积变化。在下图中,经历了线性变换后,白网格变成了蓝网格,蓝网格面积除以白网格面积即行列式的值。
在知道变换后基向量的情况下易得这个面积,不过你也可以记忆一个公式,对线性变换而言,它的行列式就是 ad-bc。
在这一篇中你将了解点乘、你和谢广坤之间的故事以及特征向量特征值。
• 点乘
让我们来看下点乘的计算方式。
又是捉对相乘再相加,是不是很熟悉?是不是跟矩阵乘以向量是一样一样的。
因此把左边向量看成一个一乘三矩阵,也是完全可以的嘛。但有些同学会说,上一篇只探讨到方阵,突然出现的一乘三的非方阵是怎么回事?
好的,到了这里我们就要稍微升级一下我们的知识了。让我们来看看非方阵的几何意义。
正如我们之前所说,矩阵可看成线性变化。想象一个二乘二方阵,它的第一列是我们再熟悉不过的,第二列是。再想象一个一乘二非方阵,如果我们依然认为第一列是,第二列是,这代表着什么?为什么和只剩下一个数字了?在什么情况下才会发生这种事?在一维空间。但你熟悉的,还在,所以不用害怕维度降低了,你的计算方法依然不变。
上图右边的向量表示,在原先的坐标轴中,该向量是由4个,3个相加而成,那么现在把新的,再代入即可得出答案。
好的。在计算上,你完全能够理解向量与向量的点乘等价于矩阵与向量的乘法。那向量的点乘有什么几何意义呢?
想必你知道这个公式:
它表示向量点乘的几何意义是a向量的模(向量的长度,即|a|)乘以b向量的模在a向量方向上的投影(向量的投影,即|b|cosθ),替换a,b的位置这个句子也成立。那为啥点乘的几何意义是这样的?
除了上边你已经了解的——点乘跟矩阵乘向量是一样一样的,你只需再了解一个知识点就可融会贯通。那就是。
我们引入一个一维数轴,该数轴与同向,在这个数轴上有个单位向量,它的长度是1。
当从二维空间的视角看时,是,坐标为(Ux,Uy)。从一维空间看,它的坐标是1。现在我对二维空间做线性变换,变到所在的这条数轴上。来,告诉我,线性变换矩阵是什么?很好算吧,就是原向量在数轴上的投影,和原向量的投影。根据对称性,我们惊喜地发现竟然是矩阵[Ux Uy]!
也就是说!矩阵[Ux Uy]这个线性变换就是把空间变换到了向量所在的一维数轴上。所以对于中的,它在变换后的位置,就是它在所在的这条数轴上的投影(|b|cosθ)。
让我们来总结一下。
1)从计算方式上,点乘等价于矩阵乘以向量
2)矩阵表示的线性变换,是将空间变换到向量所在的一维数轴上——[UxUy]表示的线性变换,是把空间降到了向量所在的一维数轴上
3)矩阵乘以向量表示向量经线性变换后的新位置,也就是向量在数轴上的投影——的新位置即为
4)与在同一条数轴上,它们之间是倍数关系,可表示为。所以
大功告成。
• 基向量变换
一直以来我们都用和这对基向量,但你的朋友谢广坤说我偏要用
、这对基向量。虽然你觉得广坤很任性,但他这样其实完全没有毛病。
当你说的向量不再是广坤的,广坤的不再是你的时,你们的友谊几乎走到了尽头。为了维护与广坤的友谊,你需要做基向量变换,也就是把广坤的表述的翻译过来,并且把你的翻译过去,这样你们才能继续交流。
让我们先翻译一下广坤。
这一天广坤说“我瞅着这个向量充满了灵气。”显然,这不是你的坐标系中的,你迫切地想知道广坤说的究竟是哪个。怎么办?
用跟之前一模一样的算法。你已经知道广坤喜欢的向量是,也就是-1*广坤的,2*广坤的,那,广坤也早就告诉你了,是、,所以代入就能知道广坤说的究竟是哪个向量了。
你经过计算得知广坤说的是,对此你不置可否,并且认为这个向量更胜一筹,于是你又需要把这个向量翻译给广坤。此前我们用广坤的向量左乘了线性变换矩阵,现在我们只需用我们的向量乘以线性变换矩阵的逆(逆矩阵的算法就请直接用计算机吧)。
现在你和广坤能够顺畅地交流向量了!
• 特征向量和特征值
特征向量就是在线性变换中方向保持不变的那些向量。特征值就是特征向量在变化后伸缩的程度。
如上图,经过的线性变换,粉线和绿线上的向量依然在原来的线上,它们就是特征向量。
特征值向量可能有无数个(比如空间只是拉伸了一下),也有可能没有(比如九十度旋转)。
简单的笔记就到此结束了,视频中的更多精彩内容,比如叉积的几何意义、你和广坤如何交流线性变换、特征向量转化为基向量等等并未展开。亲自去看一看视频吧!你绝不会失望的!
3Blue1Brown--Essence of linear algebra 系列视频
https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
封面图来自3Blue1Brown
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