动态规划法(二)找零钱问题
本次博客尝试以storyline的方式来写作,如有不足之处,还请多多包涵~~
问题的诞生
我们故事的主人公叫做丁丁,他是一个十几岁的小男孩,机智聪颖,是某某杂货店的小学徒。在他生活的国度里,只流通面额为1,3,4的硬币。复杂这家店的店长,叫做老王,是个勤奋实干的中年人,每天都要跟钱打交道。
有一天,他心血来潮,叫住正在摆放货物的丁丁,对他说道:“丁丁,你不是学过计算机方面的算法吗?我这里正好有个问题,不知你能解答不?”
一听到算法,丁丁的眼睛里闪出光芒,这正是自己的兴趣所在。于是,他连忙凑到柜台,好奇地问题:“什么问题啊?”
老王也不多说废话,他知道丁丁的聪慧之处,直接了当地说道:“你看啊,每次顾客们买完东西付款后,我们都要找零给他们,我们这边所有的硬币(1,3,4)都是充足的,我想知道一共有多少种找零方式?比如说找零为4的话,就有4=1+1+1+1=3+1=1+3=4共4种方式。”
乍听到这个问题,丁丁有点蒙圈了,因为4的情况是简单的,但是随着找零的面额增加,数量的变化就没有什么规律了。他示意掌柜出去走走,掌柜也欣然同意。
递归?动态规划?
此时我们的主人公正坐在湖边静静地思考,脑海中涌现出各种各样的计算机算法。突然,递归法进入了他的视野,对,就是递归法!他认真地整理着思路:
- 考虑面额为n的情况,假设 n=x1+x2+...+xm n = x 1 + x 2 + . . . + x m n=x_{1}+x_{2}+...+x_{m}.那么,只需考虑最后一个数 xm=1,3,4 x m = 1 , 3 , 4 x_{m}=1,3,4的情形。当 xm=1,3,4 x m = 1 , 3 , 4 x_{m}=1,3,4,剩下的面额为 n−1,n−3,n−4. n − 1 , n − 3 , n − 4. n-1,n-3,n-4.
- 假设面额为n的找零方式为 f(n) f ( n ) f(n),则 f(n)=f(n−1)+f(n−3)+f(n−4) f ( n ) = f ( n − 1 ) + f ( n − 3 ) + f ( n − 4 ) f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-4),这样就能按照递归法来做了。
- 最后,只需要确定初值即可, f(0)=f(1)=f(2)=1,f(3)=2. f ( 0 ) = f ( 1 ) = f ( 2 ) = 1 , f ( 3 ) = 2. f(0)=f(1)=f(2)=1,f(3)=2.
问题似乎到这就解决了,因为有了这个递推式,那么,直接定义一个函数就能解决问题了。等等,他想起昨天看到的博客“动态规划法(一)从斐波那契数列谈起”。对了,对于递推式,可以用动态规划法解决啊。于是,他顺手写了一下Python代码:
import time# calculate the number of ways of integer n can be write the sum of 1,3,4
def sum_part_dp(n):if n <= 2:return 1elif n == 3:return 2first = 1second = 1third = 1fourth = 2# repeat n-3 timesfor _ in range(n-3):answer = first + second + fourthfirst = secondsecond = thirdthird = fourthfourth = answerreturn fourthn = 40
t1 = time.time()
s = sum_part_dp(n)
t2 = time.time()
print('面额:%s,方法数:%s,耗时:%s'%(n, s, t2-t1))
他迅速地敲完了以上代码,运行,得到结果:
面额:40,方法数:119814916,耗时:0.0
Bingo,搞定!他满怀欣喜地将这个结果告诉了掌柜老王,老王看了,也禁不住点点头,心想:计算机算法真有用啊!
再一次的挑战
可是老王也是一个有想法的人,他看着丁丁这么干脆利落地解决了这个问题,决心再出一个难题考考他。他清了清喉咙,对丁丁说道:“刚才的问题解答得很棒啊,值得表扬 !但是现在呢,我这又有个麻烦事。每次找零,怎样找零才能使得找零的硬币数最少呢?”
丁丁笑而不语,他点了点头,就抱着他的电脑离开了。老王望着他离去的背影,心想:这个问题要是能解决,以后找零也就省了不少麻烦。不知这次丁丁要用多长时间?
有了上个问题的积累,丁丁对于解决这个问题满怀信心。还是跟刚才的解答方法一样,先用递归,假设面额为 n n n的找零所用最少硬币数为f(n)" role="presentation" style="position: relative;">f(n)f(n)f(n),则 f(n)=min{f(n−1)+1,f(n−3)+1,f(n−4)+1}. f ( n ) = m i n { f ( n − 1 ) + 1 , f ( n − 3 ) + 1 , f ( n − 4 ) + 1 } . f(n)=min\{f(n-1)+1,f(n-3)+1,f(n-4)+1\}.采用自底向上的动态规划法,记录每个子问题的解,避免重复求解,这样就能得到 f(n) f ( n ) f(n)的值了。那么,怎样才能记录每个子问题的解呢?用Python中的字典啊!这样,硬币数量是得到了,可是具体的找零方式呢?不难,只要用一个变量记录刚才表达式中是取 f(n−1) f ( n − 1 ) f(n-1)还是 f(n−3) f ( n − 3 ) f(n-3)还是 f(n−4) f ( n − 4 ) f(n-4),对应面额为1,3,4,再递归地求解下去即可。
他写下了Python代码:
# 找零钱问题
# 找零钱字典,key为面额,value为最小硬币数
change_dict = {}# 动态规划法解决问题
# 时间复杂度:多项式时间
# 只求解最小的硬币数量
def rec_change(M, coins):change_dict[0] = 0s = 0for money in range(1, M+1):num_of_coins = float('inf')for coin in coins:if money >= coin:# 记录每次所用的硬币数量if change_dict[money-coin]+1 < num_of_coins:num_of_coins = change_dict[money-coin]+1s = coin #记录每次找零的面额change_dict[money] = num_of_coinsreturn change_dict[M],s# 求出具体的找零方式
# 用path变量记录每次找零的面额
def method(M, coins):print('Total denomination is %d.'%M)nums, path = rec_change(M, coins)print('The smallest number of coins is %d.'%nums)print('%s'%path, end='')while M-path > 0:M -= pathnums, path = rec_change(M, coins)print(' -> %s'%path, end='')print()coins = (1, 3, 4)
method(50, coins)
运行结果如下:
Total denomination is 50.
The smallest number of coins is 13.
3 -> 3 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 4
几分钟后,当掌柜老王看到这个结果后,惊讶得目瞪口呆!在这家小小的杂货店里,也许藏着一位计算机天才,他这样想到。
而我们的主人公呢?此时,他已经向着斜阳,走在县城的小道上,踌躇满志,准备着去外面的世界看一看~~
注意:本人现已开通两个微信公众号: 用Python做数学(微信号为:python_math)以及轻松学会Python爬虫(微信号为:easy_web_scrape), 欢迎大家关注哦~~
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