上面两点下面一个三角形_解三角形的新视野—

大家好，我是槿灵兮~

话说前段时间在学校时，有两位同学分别问了我两个解三角形的题，之后我给出解答，发现与参考答案的思路截然不同，之后发觉貌似很多人都不知道这个东东，因此写这篇文章以记之~

原文来源于《韦心笔记4——多元拓展篇》，想要的同学可自行去下载~

槿灵兮：个人笔记的一个分享zhuanlan.zhihu.com

以下为正文：

之前在《韦心笔记1——解题策略篇》中提到了阿波罗尼斯圆以及蒙日圆，在《韦心笔记2——好题妙解篇》中提到过一个特殊的四点共圆，如今我打算在此提及一种新的圆——外接圆。

当然，在此并不打算谈西姆松定理（有兴趣的同学可以自行了解）

而是要谈在解三角形中一类很特殊的情形——定角对定边。

下面先看一道例题：例1：（合肥市2018年高三第一次教学质量检测）已知

的内角

的对边分别为

求角

若

，求

周长的最大值.

解：

由正弦定理，

即

因为

所以

因为

所以

由

以及余弦定理得

因为

所以

即

（当且仅当

时等号成立）.

所以

周长的最大值为

以上的

的解法是原出题者给出的，接下来对

我们换一种方法来看问题：

另解：由

及

，知

，

由正弦定理知

即

的外接圆

被唯一确定，点

在

上运动。

其中等号当且仅当

，即

为等边三角形时取得。

这里比起之前的参考答案而言，个人感觉更加方便，因为避免了对

利用不等式的构造，不要用余弦定理导出二次项之后凑和的平方；这里直接化边为角，用三角表示了三角形的周长，更具有一般性，这可以算是一种通解（该评论来自于戴彬滨老师）。

下面是我隔壁一班（奥赛班）彭煜琳大佬的独特视角解法（图片来源于个人笔记）：

以上是定角对定边的作用一——化边为角.

我们再看一道例题：

例2：在锐角

中，角

的对边分别为

且

成等差数列，

，则

面积的取值范围是________.

这是一位同学在下课问我的一道题，当时我初看，看到了“成等差数列”，心中顿时涌起了(2018 全国三卷理)第20题圆锥曲线第

问“

成等差数列”的阴影，于是我便和她说，“这个我一时半会写不出来，要不下节历史课我写写，下节课下课我把答案写给你。”

记过历史老师还未让我们翻开历史书之前，我已经写完了，想起来真是自己吓自己，下面是我写给她的答案。

解：由已知得：

因为

所以

由正弦定理知：

即

的外接圆

被唯一确定，点

在

上运动。

过

作

,垂足为

则

受线段

的长短所影响。

由几何关系易知，当点

平分

（即

为

中点）时，

最长，

此时

为等边三角形，

当

点无限接近

点或

点（但不重合）时，

则

下面我们看一下必刷卷给出的参考答案：

解：由余弦定理得

因为

所以

即

故

由此可以发现利用定角对定边对于解这种面积范围的题更直观利落，画个图一看便可以直接出答案（个人为了说明的话所以步骤会比较繁琐），也算从它的出题背景入手吧。

下面仍然是我隔壁一班（奥赛班）彭煜琳大佬的独特视角解法（图片来源于个人笔记）：

（上面的

指的是椭圆的短半轴，不是

中角

的对边，希望注意）

以上是定角对定边的作用二——化积为高.

对外接圆的这两个作用就讨论到这里，希望大家都能有所收获，坚持从旧的题型中总结出新的方法，以提高自己的解题能力与解题效率。

2019.6.4更新：

5月份一直在学校，学校开始了一轮复习，某天恰好我们戴彬滨老师提到了上面的例1那题，于是当天我向另一个小姐姐推荐了这篇文章（直接给她看的第四本笔记手稿），她看完之后提了一个问题：如果我根本没有想到做一条高线出来，而是直接求出了

，但最后写三角形面积的范围的时候我怕万一有一个下界没求出来怎么办，还有什么办法去限制三角形的面积呢？

于是我们开始了以下的探索：

首先

，写到这里我想起题干

成等差数列，不妨我们就设这个公差为

，且令角

，那么又进一步又积化和差公式有：

易见

是关于

的单调递减函数，故：

，

则综上所述，

这里值得一提的是，这个把公差

真正设出来是一种插入松弛变量的思想，这种想法在解题也经常使用，目的和证明

不等式时运用比值参量一样，是为了化多个变量为一个变量~下面是个人第一本笔记笔记内容（想要笔记的，传送门）：

除此之外，对于该题目条件下的周长范围，还有一个发现：

，其中

由正切的半角公式：

，可知：

故：

，

易见

是关于

的单调递减函数，故：

，

则：

最后小小唠嗑一下，对同一道题，即使已经做的非常的熟练了，将来有空不妨还是多看看，多去探索，思考，总能发现新的东西，就好比高斯给了二次互反律n多个证明一样，多写写，总是好的~

此外，知乎最近一个话题很热：

个人感觉，多帮助别人也是好的~

上面两点下面一个三角形_解三角形的新视野——定角对定边~相关推荐

已知三角形三边长怎么求面积_解三角形问题中的常见错解分析
解三角形问题是个难点,怎样才能突破这个难点呢? 只有正确理解三角形中的边角关系,即三角形中的边角等量关系.边角的不等关系及内角和关系,才能克服这个难点. 下面快和包sir一起对解三角形问题中的常见错误 ...
三条中线分的六个三角形_解读三角形中的三边关系和三条线段的应用
作为东方文化四大奇迹之一,金字塔是古埃及文明的代表作.在尼罗河下游,至今仍然散布着约80座金字塔遗迹.金字塔的庄严感和稳定性,主要来自于各面都是等腰三角形,有的甚至于接近等边三角形. 三角形是数学中最 ...
摄像头水平视野垂直视野?_动物穿越：新视野的梦想更新
摄像头水平视野垂直视野? So-an update has come to Animal Crossing: New Horizons. This means the arrival of a new ...
sorthern杂交_动物杂交：新视野视水果为燃料
sorthern杂交 Ihave written countless pieces about my love for Animal Crossing: New Horizons. Just like ...
空间三角形_玄关三角形沙发不靠墙，这设计真牛，直接解决无玄关空间少的问题...
玄关三角形沙发不靠墙,这设计真牛,直接解决无玄关空间少的问题玄关是现在家居中比较常见的区域,一般情况下,家家户户进门位置都会有一个小玄关,更换鞋帽比较方便.不过有的户型也没有玄关,这种格局在设计的时 ...
python输入三角形的三条边、判断能否构成三角形_输入三角形三条边a,b,c,判断他们能否构成三角形...
#include int main() { int a,b,c; printf("输入三角形的三条边:\n"); while(scanf("%d%d%d",&a ...
用python编程输入三角形的三条边判断是否构成三角形_输入三角形的三条边a,b,c，判断它们能否构成三角形。若能构成三角形，指出是何种三角形....
任务说明: 输入三角形的三条边a,b,c,判断它们能否构成三角形.若能构成三角形,指出是何种三角形.注:判断浮点数是否相等其差的绝对值小于10-3即认为相等.需用5种测试用例. 输入要求: " ...
java 数字三角形_数字三角形 Number Triangles（java的MLE解决办法）
于是在网上找相应的解决办法,如何对java的内存进行优化于是使用了里面的IO读取加速的模板,套用了一下,就过了... import java.io.BufferedReader; import ja ...
android shpe 三角形_绘制三角形背景的android
I need to draw a background of layout as a triangle, like you can see in the picture. I've found an ...

上面两点下面一个三角形_解三角形的新视野——定角对定边~

上面两点下面一个三角形_解三角形的新视野——定角对定边~相关推荐

最新文章

热门文章