文章目录

第一章.信号分析基础
- 1.傅里叶变换适用范围（非严谨）
- 2.傅里叶变换存在的不足
- 3.克服傅里叶变换不足的一些方法
- 4.时宽和带宽
- 5.信号的瞬时频率
- 6.信号的分解
- - 对偶向量求解问题：
- 7.正交变换
- - 正交基的选择
  - 基函数去相关性能和能量集中性能的评价函数
- 8.标架
- 9.Poisson和公式
- 10.Zak变换
第二章：短时傅里叶变换与Gabor变换
- 1.短时傅里叶变换
- - 1.定义：
  - 2.STFT时频域演示：
  - 3.谱图
  - 4.STFT和谱图的性质
  - 5.短时傅里叶反变换
  - 6.离散短时傅里叶变换及反变换
- 2.Gabor变换
- - 1.基本概念：
  - 2.临界抽样情况下连续信号Gabor展开系数的计算
  - 3.过抽样情况下连续信号Gabor展开系数的计算
第三章：Wigner分布
- 1.定义：

第一章.信号分析基础

1.傅里叶变换适用范围（非严谨）

周期信号→傅里叶级数
非周期信号但满足能量有限（ ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t < ∞ \int_{-\infty} ^{\infty}\,\left|x(t) \right|^2\,dt<\infty ∫−∞∞∣x(t)∣2dt<∞）下，可进行傅里叶变换
X ( j w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t X(jw)=\int_{-\infty}^{\infty}\,x(t)e^{-jwt}\,dt X(jw)=∫−∞∞x(t)e−jwtdt

2.傅里叶变换存在的不足

缺乏时间和频率的定位功能
即傅里叶变换只能看一定时间内频率的分布，但不能看到具体时刻的频率组成
只适用于分析频率不随时间变化的平稳信号，对于非平稳信号，只能给出一个总的平均效果
在分辨率上的局限性
无法根据信号的特点自动调节时域和频域的分辨率

频率分辨率：通过一个频域的窗函数来观察频谱时所看到的频率的宽度
时间分辨率：通过一个时域的窗函数来观察信号时所看到的时间的宽度
分辨力好坏取决于：
1)信号特点
2)信号长度
3)所用的算法

3.克服傅里叶变换不足的一些方法

短时傅里叶变换/加窗傅里叶变换
时频联合分析
小波变换
信号的子带分解
信号的多分辨率分析

4.时宽和带宽

基本定义：
时间中心： t 0 = 1 E ∫ − ∞ ∞ t ∣ x ( t ) ∣ 2 d t t_0=\frac{1}{E}\int_{-\infty}^{\infty}\,t\left|x(t)\right|^2\,dt t0=E1∫−∞∞t∣x(t)∣2dt
频率中心： Ω 0 = 1 E ∫ − ∞ ∞ Ω ∣ x ( Ω ) ∣ 2 d Ω \Omega_0=\frac{1}{E}\int_{-\infty}^{\infty}\,\Omega\left|x(\Omega)\right|^2\,d\Omega Ω0=E1∫−∞∞Ω∣x(Ω)∣2dΩ
时间扩展: Δ t 2 = 4 π E ∫ − ∞ ∞ ( t − t 0 ) 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t \Delta_t^2=\frac{4\pi}{E}\int_{-\infty}^{\infty}(t-t_0)^2\left|x(t)\right|^2dt Δt2=E4π∫−∞∞(t−t0)2∣x(t)∣2dt
频率扩展： Δ Ω 2 = 4 π E ∫ − ∞ ∞ ( Ω − Ω 0 ) 2 ∣ X ( Ω ) ∣ 2 d Ω \Delta_\Omega^2=\frac{4\pi}{E}\int_{-\infty}^{\infty}(\Omega-\Omega_0)^2\left|X(\Omega)\right|^2d\Omega ΔΩ2=E4π∫−∞∞(Ω−Ω0)2∣X(Ω)∣2dΩ
其中，
能量： E = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t E=\int_{-\infty}^{\infty}\left|x(t)\right|^2dt E=∫−∞∞∣x(t)∣2dt
时宽： T = 2 Δ t T=2\Delta_t T=2Δt
带宽： B = 2 Δ Ω B=2\Delta_\Omega B=2ΔΩ
时宽-带宽积： T B = 4 Δ t Δ Ω TB=4\Delta_t\Delta_\Omega TB=4ΔtΔΩ
特例：
条件： x ( t ) = a ( t ) e j ϕ ( t ) x(t)=a(t)e^{j\phi(t)} x(t)=a(t)ejϕ(t),且 a ( t ) a(t) a(t)和 ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)分别为信号的幅度和相位，均为t的实函数。
计算公式：
不通过傅里叶变换直接求频域中心和频域扩展
Ω 0 = 1 E ∫ ϕ ′ ( t ) a 2 ( t ) d t \Omega_0=\frac{1}{E}\int\phi'(t)a^2(t)dt Ω0=E1∫ϕ′(t)a2(t)dt
Δ Ω 2 = 1 E ∫ − ∞ ∞ [ ϕ ′ ( t ) − Ω 0 ] 2 a 2 ( t ) d t + 1 E ∫ − ∞ ∞ [ a ′ ( t ) ] 2 d t \Delta_\Omega^2=\frac{1}{E}\int_{-\infty}^{\infty}[\phi'(t)-\Omega_0]^2a^2(t)dt+\frac{1}{E}\int_{-\infty}^{\infty}[a'(t)]^2dt ΔΩ2=E1∫−∞∞[ϕ′(t)−Ω0]2a2(t)dt+E1∫−∞∞[a′(t)]2dt
不定原理
不定原理（uncertainty principle），又叫Heisenberg测不准原理。
定理：给定信号 x ( t ) x(t) x(t)，若 lim ⁡ t → ∞ t x ( t ) = 0 \lim\limits_{t\to\infty}\sqrt{t}x(t)=0 t→∞limt x(t)=0，则
Δ t Δ Ω ≥ 1 2 \Delta_t\Delta_\Omega\geq\frac{1}{2} ΔtΔΩ≥21
当且仅当 x ( t ) x(t) x(t)为高斯信号，即 x ( t ) = A e − α t 2 x(t)=Ae^{-\alpha t^2} x(t)=Ae−αt2时等号成立。
定理解释：信号为特定信号（高斯信号）时，时宽带宽积为一定值2，且时宽带宽两者相互制约，一个变大，另一个就变小。

5.信号的瞬时频率

瞬时频率是相对复信号或解析信号而言的，它是相位的导数。
x ( t ) = a ( t ) e j ϕ ( t ) x(t)=a(t)e^{j\phi(t)} x(t)=a(t)ejϕ(t)
Ω i ( t ) = d ϕ ( t ) d t \Omega_i(t)=\frac{d\phi(t)}{dt} Ωi(t)=dtdϕ(t)
信号的均值频率是其瞬时频率在整个时间轴上的加权平均，权函数为 ∣ x ( t ) ∣ 2 \left|x(t)\right|^2 ∣x(t)∣2。
Ω 0 = 1 E ∫ ϕ ′ ( t ) ∣ x ( t ) ∣ 2 d t \Omega_0=\frac{1}{E}\int\phi'(t)\left|x(t)\right|^2dt Ω0=E1∫ϕ′(t)∣x(t)∣2dt
瞬时频率的适用范围：
1)实信号与其Hilbert变换构成正交分量
⇕ \Updownarrow ⇕
实信号构成解析信号后，解析信号有物理意义
⇕ \Updownarrow ⇕
a ( t ) a(t) a(t)和 e j ϕ ( t ) e^{j\phi(t)} ejϕ(t)的频谱可以互相分开
2)瞬时频率的定义不适用于多分量信号，对于多分量信号而言，瞬时频率相当于多个信号的平均瞬时频率。

6.信号的分解

信号想怎么分解都行，关键看分解后的“权”和“基”有没有意义。
分解公式：
x = ∑ n = 1 N α n ϕ n \pmb{x}=\sum_{n=1}^N\alpha_n\pmb\phi_n xxx=n=1∑Nαnϕϕϕn
其中，希尔伯特空间 H = s p a n { ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ N } H=span\{\pmb\phi_1,\pmb\phi_2,\cdots,\pmb\phi_N\} H=span{ϕϕϕ1,ϕϕϕ2,⋯,ϕϕϕN}。
分解系数 α n \alpha_n αn可通过 ϕ n \pmb\phi_n ϕϕϕn的对偶向量 ϕ ^ j \pmb{\widehat\phi_j} ϕ jϕ jϕ j与信号做内积得到：
α j = < x , ϕ ^ j > \alpha_j=<\pmb{x},\pmb{\widehat\phi_j}> αj=<xxx,ϕ jϕ jϕ j>
其中，对偶向量 ϕ ^ j \pmb{\widehat\phi_j} ϕ jϕ jϕ j与 ϕ j \pmb{\phi_j} ϕjϕjϕj的关系为：
< ϕ j , ϕ ^ j > = { 1 , i = j 0 , i ≠ j <\pmb{\phi_j},\pmb{\widehat\phi_j}>=\begin{cases}1,\,i=j\\0,\,i\neq j\end{cases} <ϕjϕjϕj,ϕ jϕ jϕ j>={1,i=j0,i=j

正交基：基向量 ϕ j \pmb{\phi_j} ϕjϕjϕj与其对偶向量 ϕ ^ j \pmb{\widehat\phi_j} ϕ jϕ jϕ j相同，那么这个基向量就是希尔伯特空间的正交基。
完备：如果空间H中的任一元素 x \pmb{x} xxx都可由一组向量 { ϕ n } \{\pmb\phi_n\} {ϕϕϕn}做分解，那么称这组向量是完备的。
双正交基：
{ ϕ n } \{\pmb\phi_n\} {ϕϕϕn}完备，且线性无关
⇔ \Leftrightarrow ⇔ { ϕ n } \{\pmb\phi_n\} {ϕϕϕn}是空间H中的一组基向量
⇔ \Leftrightarrow ⇔对空间H中任意元素，在 { ϕ n } \{\pmb\phi_n\} {ϕϕϕn}下的分解系数唯一
⇔ \Leftrightarrow ⇔基向量的对偶向量存在且唯一
⇔ \Leftrightarrow ⇔基向量与其对偶向量，两者构成一对双正交基

对偶向量求解问题：

基向量 { ϕ n } \{\pmb\phi_n\} {ϕϕϕn}是正交基，那么对偶向量就是基向量
基向量不是正交基，那么
1） Φ = [ < ϕ 1 , ϕ 1 > ⋯ < ϕ 1 , ϕ N > ⋮ ⋱ ⋮ < ϕ N , ϕ 1 > ⋯ < ϕ N , ϕ N > ] \pmb\Phi=\begin{bmatrix}<\pmb\phi_1,\pmb\phi_1>&\cdots&<\pmb\phi_1,\pmb\phi_N>\\\vdots&\ddots&\vdots\\<\pmb\phi_N,\pmb\phi_1>&\cdots&<\pmb\phi_N,\pmb\phi_N>\end{bmatrix} ΦΦΦ=⎣⎢⎡<ϕϕϕ1,ϕϕϕ1>⋮<ϕϕϕN,ϕϕϕ1>⋯⋱⋯<ϕϕϕ1,ϕϕϕN>⋮<ϕϕϕN,ϕϕϕN>⎦⎥⎤
2) B = Φ − 1 = [ b 11 ⋯ b 1 N ⋮ ⋱ ⋮ b N 1 ⋯ b N N ] \pmb{B}=\pmb\Phi^{-1}=\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1N}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{N1}&\cdots&b_{NN}\end{bmatrix} BBB=ΦΦΦ−1=⎣⎢⎡b11⋮bN1⋯⋱⋯b1N⋮bNN⎦⎥⎤
3) ϕ ^ j = ∑ k = 1 N b j k ϕ k , j = 1 ∼ N \pmb{\widehat\phi_j}=\sum_{k=1}^{N}b_{jk}\pmb\phi_k,\,\,j=1\thicksim N ϕ jϕ jϕ j=k=1∑Nbjkϕϕϕk,j=1∼N

7.正交变换

正交变换或正交分解，是信号处理中最常用的变换。

正交变换的基向量 { ϕ n } \{\pmb\phi_n\} {ϕϕϕn}即是其对偶向量。
α j = < x ( n ) , ϕ j ( n ) > = ∑ n = 1 N x ( n ) ϕ j ( n ) \alpha_j=<\pmb{x(n)},\pmb{\phi_j(n)}>=\sum_{n=1}^{N}\pmb{x(n)}\pmb{\phi_j(n)} αj=<x(n)x(n)x(n),ϕj(n)ϕj(n)ϕj(n)>=n=1∑Nx(n)x(n)x(n)ϕj(n)ϕj(n)ϕj(n)
α = Φ X = [ ϕ 11 ⋯ ϕ 1 N ⋮ ⋱ ⋮ ϕ N 1 ⋯ ϕ N N ] [ x ( 1 ) ⋮ x ( N ) ] \pmb\alpha=\pmb{\Phi X}=\begin{bmatrix}\phi_{11}&\cdots&\phi_{1N}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\phi_{N1}&\cdots&\phi_{NN}\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix}\pmb{x(1)}\\\vdots\\\pmb{x(N)}\end{bmatrix} ααα=ΦXΦXΦX=⎣⎢⎡ϕ11⋮ϕN1⋯⋱⋯ϕ1N⋮ϕNN⎦⎥⎤⎣⎢⎡x(1)x(1)x(1)⋮x(N)x(N)x(N)⎦⎥⎤
x = Φ − 1 α = Φ T α \pmb{x}=\pmb{\Phi^{-1}\alpha}=\pmb{\Phi^T\alpha} xxx=Φ−1αΦ−1αΦ−1α=ΦTαΦTαΦTα
正反变换矩阵仅是转置关系，便于硬件实现。
信号经正交变换后得到的离散系数，具有减少信号中各分量的相关性及将信号能量集中于少数系数的功能。相关性去除程度及能量集中程度取决于所选择的基函数。

正交基的选择

具有一定物理意义或实用意义
基函数应尽量简单，减少正反变换时的计算量
研究信号局部时间及局部频率的性质时，希望选择的基函数具有频域和时域的定位功能，即在频域和时域最好都是紧支撑的。
具有较好的去相关和能量集中的功能。

基函数去相关性能和能量集中性能的评价函数

信号： x = ( x ( 0 ) x ( 1 ) ⋯ x ( N − 1 ) ) T \pmb{x}=(x(0)x(1)\cdots x(N-1))^T xxx=(x(0)x(1)⋯x(N−1))T
信号自相关矩阵： R x = E { x x T } \pmb R_x=E\{\pmb x\pmb x^T\} RRRx=E{xxxxxxT}
信号进行正交变换： α = Φ x = ( α ( 0 ) α ( 1 ) ⋯ α ( N − 1 ) ) T \pmb\alpha=\pmb{\Phi x}=(\alpha(0)\alpha(1)\cdots \alpha(N-1))^T ααα=ΦxΦxΦx=(α(0)α(1)⋯α(N−1))T
正交变换后的信号的自相关矩阵： R α = E { α α T } \pmb R_{\alpha}=E\{\pmb{\alpha}\pmb {\alpha^T}\} RRRα=E{ααααTαTαT}

计算：
就是计算自相关矩阵中除对角线元素，其他元素绝对值的累加和。
λ x = ∑ i , j = 0 ; i ≠ j N − 1 ∣ R x ( i , j ) ∣ \lambda_x=\sum_{i,j=0;i\neq j}^{N-1}\,\left|R_x(i,j)\right| λx=∑i,j=0;i=jN−1∣Rx(i,j)∣
λ α = ∑ i , j = 0 ; i ≠ j N − 1 ∣ R α ( i , j ) ∣ \lambda_{\alpha}=\sum_{i,j=0;i\neq j}^{N-1}\,\left|R_{\alpha}(i,j)\right| λα=∑i,j=0;i=jN−1∣Rα(i,j)∣

定义：

去相关效率： η = 1 − λ α λ x \eta=1-\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_{x}} η=1−λxλα
越大，去相关效果越强。
能量集中效率： η E = ∑ i = 0 M R α ( i , i ) ∑ i = 0 N − 1 R α ( i , i ) , M = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 \eta_E=\frac{\sum_{i=0}^{M}R_{\alpha}(i,i)}{\sum_{i=0}^{N-1}R_{\alpha}(i,i)},\,\,\,M=0,1,\cdots,N-1 ηE=∑i=0N−1Rα(i,i)∑i=0MRα(i,i),M=0,1,⋯,N−1
实际上就是看大特征值有多大。 η E \eta_E ηE越大，能量集中效果越强。

8.标架

标架（frame），在研究信号离散表示的完备性、稳定性以及冗余度方面非常有用。

标架的定义：
设 { ϕ n } \{\pmb\phi_n\} {ϕϕϕn}是Hilbert空间H中的一组向量，如果存在常数 A > 0 A>0 A>0和 B < ∞ B<\infty B<∞，对任一信号 x ∈ H \pmb x\in H xxx∈H，若使得 A ∥ x ∥ 2 2 ≤ ∑ n ∣ < x , ϕ n > ∣ 2 ≤ B ∥ x ∥ 2 2 A\begin{Vmatrix}\pmb x\end{Vmatrix}_2^2\,\le\,\sum_n\begin{vmatrix}<\pmb x,\pmb{\phi_n}>\end{vmatrix}^2\,\le\,B\begin{Vmatrix}\pmb x\end{Vmatrix}_2^2 A∥∥xxx∥∥22≤n∑∣∣<xxx,ϕnϕnϕn>∣∣2≤B∥∥xxx∥∥22
成立，则称 { ϕ n } \{\pmb{\phi_n}\} {ϕnϕnϕn}构成空间H中的一个标架。式中A,B称为标架界。
紧标架：A=B时， { ϕ n } \{\pmb{\phi_n}\} {ϕnϕnϕn}为紧标架，且其对偶标价 ϕ ^ n = 1 A ϕ n \pmb{\widehat\phi_n}=\frac{1}{A}\pmb\phi_n ϕ nϕ nϕ n=A1ϕϕϕn。
此时A还可作为冗余度的测量量，A越大，冗余越多。 { ϕ n } \{\pmb{\phi_n}\} {ϕnϕnϕn}之间越线性相关。
同时标架界A=1时， { ϕ n } \{\pmb{\phi_n}\} {ϕnϕnϕn}为正交基。
若 { ϕ n } \{\pmb{\phi_n}\} {ϕnϕnϕn}各分量之间是线性独立的，则有 A ≤ 1 ≤ B A\,\le1\,\le B A≤1≤B。

标架算子：
用来讨论由标架重构信号的问题。

定义：
设 { ϕ n } \{\pmb\phi_n\} {ϕϕϕn}是Hilbert空间H中的一个标架，定义标价算子S为
S x = ∑ n < x , ϕ n > ϕ n = g \pmb{Sx}=\sum_n<\pmb x,\pmb\phi_n>\pmb\phi_n=\pmb g SxSxSx=n∑<xxx,ϕϕϕn>ϕϕϕn=ggg
即标价算子S将信号 x \pmb x xxx映射为 g \pmb g ggg。
{ S − 1 ϕ n } \{S^{-1}\pmb\phi_n\} {S−1ϕϕϕn}是 { ϕ n } \{\pmb\phi_n\} {ϕϕϕn}的对偶标架，记作 ϕ ^ n = { S − 1 ϕ n } \pmb{\widehat\phi_n}=\{S^{-1}\pmb\phi_n\} ϕ nϕ nϕ n={S−1ϕϕϕn}。

Riesz基：
它也是一个标架，且要求更严格。

定义：
一组向量 { ϕ k , k ∈ Z } \{\pmb{\phi_k},\,k\in Z\} {ϕkϕkϕk,k∈Z}是Riesz基需满足：
1） { ϕ k , k ∈ Z } \{\pmb{\phi_k},\,k\in Z\} {ϕkϕkϕk,k∈Z}是线性独立的。
2）存在常数 A > 0 , B > 0 A>0,B>0 A>0,B>0，使得
A ∥ x ∥ 2 2 ≤ ∑ k ∣ < x , ϕ k > ∣ 2 ≤ B ∥ x ∥ 2 2 A\begin{Vmatrix}\pmb x\end{Vmatrix}_2^2\,\le\sum_k \begin{vmatrix}<\pmb x,\pmb\phi_k>\end{vmatrix}^2\,\le B\begin{Vmatrix}\pmb x\end{Vmatrix}_2^2 A∥∥xxx∥∥22≤k∑∣∣<xxx,ϕϕϕk>∣∣2≤B∥∥xxx∥∥22
Riesz基和其对偶Riesz基构成双正交关系。

9.Poisson和公式

基本形式：
∑ n = − ∞ ∞ e − j 2 π n b x = 1 b ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n b ) \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nbx}=\frac{1}{b}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-\frac{n}{b}) n=−∞∑∞e−j2πnbx=b1n=−∞∑∞δ(x−bn)
将其中某些变量代换，会有我们更熟悉的傅里叶变换对。
如：
令 x = t , n = − n , b = 1 T x=t,n=-n,b=\frac{1}{T} x=t,n=−n,b=T1
∑ n = − ∞ ∞ δ ( t + n T ) = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ e j k Ω 0 t , Ω 0 = 2 π T \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t+nT)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jk\Omega_0t},\,\,\Omega_0=\frac{2\pi}{T} n=−∞∑∞δ(t+nT)=T1n=−∞∑∞ejkΩ0t,Ω0=T2π
令 n = − k , x = Ω , b = 1 Ω 0 ( Ω 0 = 2 π T ) n=-k,x=\Omega,b=\frac{1}{\Omega_0}(\Omega_0=\frac{2\pi}{T}) n=−k,x=Ω,b=Ω01(Ω0=T2π)
∑ k = − ∞ ∞ δ ( Ω + k Ω 0 ) = 1 Ω 0 ∑ n = − ∞ ∞ e − j n Ω T , Ω 0 = 2 π T \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega+k\Omega_0)=\frac{1}{\Omega_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-jn\Omega T},\,\,\Omega_0=\frac{2\pi}{T} k=−∞∑∞δ(Ω+kΩ0)=Ω01n=−∞∑∞e−jnΩT,Ω0=T2π

10.Zak变换

DT/Zak变换：
给定信号 x ( t ) ∈ L 2 ( R ) x(t)\in L^2(R) x(t)∈L2(R)，定义
Z x ( T ) ( t , f ) = T ∑ k = − ∞ ∞ x ( t + k T ) e − j 2 π f k T Z_x^{(T)}(t,f)=\sqrt{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(t+kT)e^{-j2\pi fkT} Zx(T)(t,f)=T k=−∞∑∞x(t+kT)e−j2πfkT
为信号的Zak变换。其中， 0 ≤ t < T , 0 ≤ f ≤ 1 / T ; k ∈ Z 0\le t<T,0\le f\le 1/T;k\in Z 0≤t<T,0≤f≤1/T;k∈Z。
离散序列的Zak变换/DTZT：
Z x ( n , θ ) = ∑ k = − ∞ ∞ x ( n + k L ) e − j 2 π k θ , n = 0 , 1 , ⋯ , L − 1 Z_x(n,\theta)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(n+kL)e^{-j2\pi k\theta}\,\,,n=0,1,\cdots,L-1 Zx(n,θ)=k=−∞∑∞x(n+kL)e−j2πkθ,n=0,1,⋯,L−1
计算机上怎么进行Zak变换呢？
离散Zak变换，DZT。
将频率变量 θ \theta θ也进行离散化
Z x ( n , k ) = ∑ l = 0 M − 1 x ( n + l L ) e − j 2 π M l k , 0 ≤ n ≤ L − 1 , 0 ≤ k ≤ M − 1 Z_x(n,k)=\sum_{l=0}^{M-1}x(n+lL)e^{-j\frac{2\pi}{M}lk}\,\,,0\le n\le L-1,0\le k\le M-1 Zx(n,k)=l=0∑M−1x(n+lL)e−jM2πlk,0≤n≤L−1,0≤k≤M−1
信号 x ( n ) x(n) x(n)的长度为N，且 N = L M N=LM N=LM。

以后找点程序试试Zak变换可能看完gabor变换再找程序或自己写

第二章：短时傅里叶变换与Gabor变换

1.短时傅里叶变换

短时傅里叶变换（short time Fourier transform），STFT。

1.定义：

给定一信号 x ( t ) ∈ L 2 ( R ) x(t)\in L^2(R) x(t)∈L2(R)，
S T F T x ( t , Ω ) = ∫ x ( τ ) g t , Ω ∗ ( τ ) d τ = ∫ x ( τ ) g ∗ ( τ − t ) e − j Ω τ d τ = < x ( τ ) , g ( τ − t ) e j Ω τ > \begin{aligned} STFT_x(t,\Omega)&=\int x(\tau)g_{t,\Omega}^{*}(\tau)\,d\tau\\ &=\int x(\tau)g^*(\tau-t)e^{-j\Omega \tau}\,d\tau\\ &=<x(\tau),g(\tau-t)e^{j\Omega \tau}> \end{aligned} STFTx(t,Ω)=∫x(τ)gt,Ω∗(τ)dτ=∫x(τ)g∗(τ−t)e−jΩτdτ=<x(τ),g(τ−t)ejΩτ>
其中，
g t , Ω ( τ ) = g ( τ − t ) e j Ω τ ∥ g ( τ ) ∥ = 1 , ∥ g t , Ω ( τ ) ∥ = 1 \begin{aligned} g_{t,\Omega}(\tau)=g(\tau-t)e^{j\Omega \tau} \\ \begin{Vmatrix} g(\tau) \end{Vmatrix}=1 , \begin{Vmatrix} g_{t,\Omega}(\tau) \end{Vmatrix}=1 \end{aligned} gt,Ω(τ)=g(τ−t)ejΩτ∥∥g(τ)∥∥=1,∥∥gt,Ω(τ)∥∥=1

2.STFT时频域演示：

STFT相当于将信号分为多段，并对每一段做傅里叶变换。
STFT的时宽带宽不随时间，频率变化而变化，因此不具备调节功能。

3.谱图

谱图（spectrogram），是信号能量的分布：
S x ( t , Ω ) = ∣ S T F T x ( t , Ω ) ∣ 2 = ∣ ∫ x ( τ ) g ∗ ( τ − t ) e − j Ω τ d τ ∣ 2 S_x(t,\Omega) =\begin{vmatrix} STFT_x(t,\Omega) \end{vmatrix}^2 =\begin{vmatrix} \int x(\tau)g^*(\tau-t)e^{-j\Omega \tau} d\tau \end{vmatrix}^2 Sx(t,Ω)=∣∣STFTx(t,Ω)∣∣2=∣∣∫x(τ)g∗(τ−t)e−jΩτdτ∣∣2
谱图是恒正的，且始终是 ( t , Ω ) (t,\Omega) (t,Ω)的实函数。

4.STFT和谱图的性质

若 y ( t ) = x ( t ) e j Ω 0 t y(t)=x(t)e^{j\Omega_0 t} y(t)=x(t)ejΩ0t，则
S T F T y ( t , Ω ) = S T F T x ( t , Ω − Ω 0 ) S y ( t , Ω ) = S x ( t , Ω − Ω 0 ) \begin{aligned} STFT_y(t,\Omega)&=STFT_x(t,\Omega-\Omega_0)\\ S_y(t,\Omega)&=S_x(t,\Omega-\Omega_0) \end{aligned} STFTy(t,Ω)Sy(t,Ω)=STFTx(t,Ω−Ω0)=Sx(t,Ω−Ω0)
若 y ( t ) = x ( t − t 0 ) y(t)=x(t-t_0) y(t)=x(t−t0)，则
S T F T y ( t , Ω ) = S T F T x ( t − t 0 , Ω ) e − j Ω t 0 S y ( t , Ω ) = S x ( t − t 0 , Ω ) \begin{aligned} STFT_y(t,\Omega)&=STFT_x(t-t_0,\Omega)e^{-j\Omega t_0}\\ S_y(t,\Omega)&=S_x(t-t_0,\Omega) \end{aligned} STFTy(t,Ω)Sy(t,Ω)=STFTx(t−t0,Ω)e−jΩt0=Sx(t−t0,Ω)

5.短时傅里叶反变换

三种形式：

STFT的一维反变换：
x ( t ) = 1 2 π g ( 0 ) ∫ S T F T x ( t , Ω ) e j Ω t d Ω x(t)=\frac{1}{2\pi g(0)}\int STFT_x(t,\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega x(t)=2πg(0)1∫STFTx(t,Ω)ejΩtdΩ
STFT的二维反变换：
x ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ S T F T x ( t , Ω ) g ( τ − t ) e j Ω t d t d Ω x(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}STFT_x(t,\Omega)g(\tau-t)e^{j\Omega t}dtd\Omega x(τ)=2π1∫−∞∞∫−∞∞STFTx(t,Ω)g(τ−t)ejΩtdtdΩ
用g(t)的对偶函数h(t)( ∫ g ( t ) h ∗ ( t ) d t = 1 \int g(t)h^*(t)dt=1 ∫g(t)h∗(t)dt=1)表示反变换：
x ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ S T F T x ( t , Ω ) h ( τ − t ) e j Ω t d t d Ω x(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}STFT_x(t,\Omega)h(\tau-t)e^{j\Omega t}dtd\Omega x(τ)=2π1∫−∞∞∫−∞∞STFTx(t,Ω)h(τ−t)ejΩtdtdΩ

6.离散短时傅里叶变换及反变换

正变换
给定信号 x ( n ) , n = 0 , 1 , ⋯ , L − 1 x(n),n=0,1,\cdots,L-1 x(n),n=0,1,⋯,L−1
1)进行时间离散 t = n T s t=nT_s t=nTs
S T F T x ( m , e j ω ) = ∑ n x ( n ) g ∗ ( n − m N ) e − j ω n STFT_x(m,e^{j\omega})=\sum_n x(n)g^*(n-mN)e^{-j\omega n} STFTx(m,ejω)=n∑x(n)g∗(n−mN)e−jωn
其中，N是时间轴上窗函数移动的步长， ω = Ω T s \omega=\Omega T_s ω=ΩTs是圆周频率。
2）进行频率离散 ω k = 2 π M k \omega_k=\frac{2\pi}{M}k ωk=M2πk
S T F T x ( m , ω k ) = ∑ n x ( n ) g ∗ ( n − m N ) e − j 2 π M n k STFT_x(m,\omega_k)=\sum_n x(n)g^*(n-mN)e^{-j\frac{2\pi}{M}nk} STFTx(m,ωk)=n∑x(n)g∗(n−mN)e−jM2πnk
其中，一般窗函数的长度也设为M点，窗函数长度小，则补零，窗函数长度大，则加大M。
因此，离散后的STFT一般写为：
S T F T x ( t , k ) = ∑ n = 0 M − 1 x ( n ) g ∗ ( n − m N ) e − j 2 π M n k , k = 0 , 1 , ⋯ , M − 1 STFT_x(t,k)=\sum_{n=0}^{M-1} x(n)g^*(n-mN)e^{-j\frac{2\pi}{M}nk},\,\,k=0,1,\cdots,M-1 STFTx(t,k)=n=0∑M−1x(n)g∗(n−mN)e−jM2πnk,k=0,1,⋯,M−1
反变换
x ( n ) = 1 M ∑ n ∑ k = 0 M − 1 S T F T x ( m , k ) e j 2 π M n k x(n)=\frac{1}{M}\sum_n\sum_{k=0}^{M-1}STFT_x(m,k)e^{j\frac{2\pi}{M}nk} x(n)=M1n∑k=0∑M−1STFTx(m,k)ejM2πnk

2.Gabor变换

1.基本概念：

Gabor提出：可以用二维的时频平面上离散栅格上的点来表示一个一维的信号。

定义：
x ( t ) = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ C m , n h m , n ( t ) = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ C m , n h ( t − n a ) e j 2 π m b t \begin{aligned} x(t) &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{m,n}h_{m,n}(t)\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{m,n}h(t-na)e^{j2\pi mbt} \end{aligned} x(t)=m=−∞∑∞n=−∞∑∞Cm,nhm,n(t)=m=−∞∑∞n=−∞∑∞Cm,nh(t−na)ej2πmbt

式中，a，b是常数，a代表栅格的时间长度，b代表栅格的频率长度，如上图左图所示。h(t)是母函数，如上图右图所示。
分类：
Gabor变化中，a和b（在有些文献中，a被标记为T，b被标记为Ω）的取值有以下三种情况：
1）当 a b = 1 ab=1 ab=1（或 T Ω = 2 π T\Omega=2\pi TΩ=2π）时，称为临界抽样（critical sampling）
2）当 a b > 1 ab>1 ab>1（或 T Ω > 2 π T\Omega>2\pi TΩ>2π）时，称为欠抽样（undersampling）
欠抽样时，栅格过稀疏，缺乏足够信息恢复信号。
3）当 a b < 1 ab<1 ab<1（或 T Ω < 2 π T\Omega<2\pi TΩ<2π）时，称为过抽样（oversampling）

2.临界抽样情况下连续信号Gabor展开系数的计算

1）构造辅助函数 g ( t ) g(t) g(t)
g m , n ( t ) = g ( t − n a ) e j 2 π m b t g_{m,n}(t)=g(t-na)e^{j2\pi mbt} gm,n(t)=g(t−na)ej2πmbt
2）类似之前学的分解，假定 x ( t ) x(t) x(t)和 g m , n ( t ) g_{m,n}(t) gm,n(t)的内积就是 C m , n C_{m,n} Cm,n，求出 C m , n C_{m,n} Cm,n
C m , n = < x ( t ) , g m , n ( t ) > = ∫ x ( t ) g ∗ ( t − n a ) e − j 2 π m b t d t C_{m,n}=<x(t),g_{m,n}(t)>=\int x(t)g^*(t-na)e^{-j2\pi mbt}dt Cm,n=<x(t),gm,n(t)>=∫x(t)g∗(t−na)e−j2πmbtdt
3）x(t)进行重构
x ( t ) = ∑ m ∑ n < x ( t ) , g m , n ( t ) > h m , n ( t ) x(t)=\sum_{m}\sum_{n}<x(t),g_{m,n}(t)>h_{m,n}(t) x(t)=m∑n∑<x(t),gm,n(t)>hm,n(t)

h(t)和g(t)的关系：
两个函数之间的双正交关系：
∫ g ( t ) h ∗ ( t − n a ) e − j 2 π m b t d t = δ m δ n = { 0 m , n 中有一个不为 0 1 m = n = 0 \int g(t)h^*(t-na)e^{-j2\pi mbt}dt=\delta_m\delta_n =\begin{cases} 0\,\,m,n中有一个不为0 \\ 1\,\,m=n=0 \end{cases} ∫g(t)h∗(t−na)e−j2πmbtdt=δmδn={0m,n中有一个不为01m=n=0

3.过抽样情况下连续信号Gabor展开系数的计算

没太看懂，先码住

过抽样下的等价关系
过抽样
⇔ a b < 1 \Leftrightarrow ab<1 ⇔ab<1
⇔ C m , n \Leftrightarrow C_{m,n} ⇔Cm,n表示 x ( t ) x(t) x(t)会产生冗余
⇔ h m , n ( t ) \Leftrightarrow h_{m,n}(t) ⇔hm,n(t)相当于每一个m，n都不是线性独立的，也不正交
⇔ C m , n \Leftrightarrow C_{m,n} ⇔Cm,n不唯一
求Gabor展开系数 C m , n C_{m,n} Cm,n，只在 p = 1 p=1 p=1情况下。
1）选定一个窗函数 h ( t ) h(t) h(t)
2）选定时频平面上的步长a和b，要求 a b = 1 / q < 1 ab=1/q<1 ab=1/q<1，即q取大于1的整数
3）计算 h ( t ) h(t) h(t)的Zak变换 Z h ( t , Ω ) Z_h(t,\Omega) Zh(t,Ω)
4）计算 x ( t ) x(t) x(t)的Zak变化 Z x ( t , Ω ) Z_x(t,\Omega) Zx(t,Ω)
5）计算 ∑ l = 0 q − 1 ∣ Z h ( t − l q , Ω ) ∣ 2 \sum_{l=0}^{q-1}\begin{vmatrix} Z_h(t-\frac{l}{q},\Omega) \end{vmatrix}^2 l=0∑q−1∣∣∣Zh(t−ql,Ω)∣∣∣2
6）求 Z g ( t , Ω ) = Z h ( t , Ω ) ∑ l = 0 q − 1 ∣ Z h ( t − l q , Ω ) ∣ 2 Z_g(t,\Omega)=\frac {Z_h(t,\Omega)} {\sum_{l=0}^{q-1}\begin{vmatrix} Z_h(t-\frac{l}{q},\Omega) \end{vmatrix}^2} Zg(t,Ω)=∑l=0q−1∣∣∣Zh(t−ql,Ω)∣∣∣2Zh(t,Ω)
7）计算 Z x ( t , Ω ) Z_x(t,\Omega) Zx(t,Ω)和 Z g ( t , Ω ) Z_g(t,\Omega) Zg(t,Ω)的内积，从而得到 C m , n C_{m,n} Cm,n
C m , n = < Z x , Z g > = ∫ 0 1 ∫ 0 1 Z x ( t , Ω ) Z h ∗ ( t − n q , Ω ) ∑ l = 0 q − 1 ∣ Z h ( t − l q , Ω ) ∣ 2 e − j 2 π m t d t d Ω C_{m,n}=<Z_x,Z_g>=\int_0^1\int_0^1 Z_x(t,\Omega)\frac {Z_h^*(t-\frac{n}{q},\Omega)} {\sum_{l=0}^{q-1}\begin{vmatrix} Z_h(t-\frac{l}{q},\Omega) \end{vmatrix}^2}e^{-j2\pi mt}dtd\Omega Cm,n=<Zx,Zg>=∫01∫01Zx(t,Ω)∑l=0q−1∣∣∣Zh(t−ql,Ω)∣∣∣2Zh∗(t−qn,Ω)e−j2πmtdtdΩ

第三章：Wigner分布

1.定义：

信号 x ( t ) , y ( t ) x(t),y(t) x(t),y(t)的傅里叶变换分别是 X ( j Ω ) , Y ( j Ω ) X(j\Omega),Y(j\Omega) X(jΩ),Y(jΩ)。

x ( t ) , y ( t ) x(t),y(t) x(t),y(t)的联合Wigner分布定义为：
W x , y ( t , Ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ / 2 ) y ∗ ( t − τ / 2 ) e − j Ω τ d τ W_{x,y}(t,\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)y^*(t-\tau/2)e^{-j\Omega\tau}d\tau Wx,y(t,Ω)=∫−∞∞x(t+τ/2)y∗(t−τ/2)e−jΩτdτ
信号 x ( t ) x(t) x(t)的自Wigner分布定义为：
W x ( t , Ω ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ / 2 ) x ∗ ( t − τ / 2 ) e − j Ω τ d τ W_x(t,\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j\Omega\tau}d\tau Wx(t,Ω)=∫−∞∞x(t+τ/2)x∗(t−τ/2)e−jΩτdτ
信号 X ( j Ω ) X(j\Omega) X(jΩ)的自Wigner分布定义为：
W x ( t , Ω ) = 1 2 π ∫ X ( Ω + θ / 2 ) X ∗ ( Ω − θ / 2 ) e i θ t d θ W_x(t,\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int X(\Omega+\theta/2)X^*(\Omega-\theta/2)e^{i\theta t}d\theta Wx(t,Ω)=2π1∫X(Ω+θ/2)X∗(Ω−θ/2)eiθtdθ
另外，在时频分析中，一般定义 r x , y ( t , τ ) r_{x,y}(t,\tau) rx,y(t,τ)为瞬时互相关：
r x , y ( t , τ ) = x ( t + τ / 2 ) y ∗ ( t − τ / 2 ) r_{x,y}(t,\tau)=x(t+\tau/2)y*(t-\tau/2) rx,y(t,τ)=x(t+τ/2)y∗(t−τ/2)

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现代信号处理教程第二版（胡广书）学习笔记

文章目录

第一章.信号分析基础

1.傅里叶变换适用范围（非严谨）

2.傅里叶变换存在的不足

3.克服傅里叶变换不足的一些方法

4.时宽和带宽

5.信号的瞬时频率

6.信号的分解

对偶向量求解问题：

7.正交变换

正交基的选择

基函数去相关性能和能量集中性能的评价函数

8.标架

9.Poisson和公式

10.Zak变换

第二章：短时傅里叶变换与Gabor变换

1.短时傅里叶变换

1.定义：

2.STFT时频域演示：

3.谱图

4.STFT和谱图的性质

5.短时傅里叶反变换

6.离散短时傅里叶变换及反变换

2.Gabor变换

1.基本概念：

2.临界抽样情况下连续信号Gabor展开系数的计算

3.过抽样情况下连续信号Gabor展开系数的计算

第三章：Wigner分布

1.定义：

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