第三章 函数逼近 — 最佳平方逼近

内容提要 最佳平方逼近 最佳平方逼近函数、多项式 利用正交多项式计算最佳平方逼近多项式 Chebyshev 级数与最佳一致逼近

最佳平方逼近 什么是最佳平方逼近 设 f(x) C[a, b]，0(x), 1(x), , n(x)C[a, b] 线性无关，令 求 S*(x)  ，使得 称 S*(x) 为 f(x) 在  中的 最佳平方逼近。

最佳平方逼近 如何求 S*(x) S(x) = a00(x) + a11(x) + · · · + ann(x) k = 0, 1, …, n

最佳平方逼近 即 k = 0, 1, …, n 法方程

最佳平方逼近 解的存在唯一性 S*(x) = a0* 0 + a1* 1 + · · · + an* n(x) 法方程存在唯一解 det(G)  0 0, 1, , n 线性无关 设法方程的解为： a0* , a1*, , an* , 令 S*(x) = a0* 0 + a1* 1 + · · · + an* n(x) 定理：S*(x) 是 f(x) 在  中的唯一最佳平方逼近函数，且逼近误差为 证明：板书

H 最佳平方逼近多项式 最佳平方逼近多项式 f(x) C[a, b] 在 Hn 中的最佳平方逼近，记为 设 f(x) C[0, 1]，取 Hn 的一组基：1, x, x2,  , xn ，则法方程为 H Hilbert 矩阵 H 严重病态 只适合求低次最佳逼近

举例 例：(教材68页，例 6) 求 在[0, 1]上的一次最佳平方逼近多项式 解： S*(x) = 0.934 + 0.426 x

正交函数最佳逼近 用正交基求最佳平方逼近 误差 Bessel 不等式 若 0, 1, , n 正交，则法方程的解为 k = 0, 1, …, n 误差 Bessel 不等式

广义Fourier级数 广义 Fourier 级数 设 0, 1, 2,  是正交函数族，则称 为 f(x) 的 广义 Fourier 级数 其中 为广义Fourier系数

正交多项式最佳逼近 用正交多项式作最佳逼近 定理：若 0, 1, , n 是正交多项式族，Sn* (x) 为 f(x) 的 n 次最佳平方逼近多项式，则 证明：略

Legendre 最佳逼近 Legendre 多项式求最佳逼近 其中 误差 设 f(x) C[-1, 1]，(x) = 1，则 f(x) 的 n 次最佳平方逼近多项式为 其中 误差

最佳平方逼近 定理：若 f(x) C2[-1, 1], 则对任意 x [-1, 1] 和   > 0 ，当 n 充分大时，有 证明：略 定理：在所有首项系数为 1 的 n 次多项式中， 在 [-1, 1] 上与零的平方逼近误差最小，即 其中 是首项系数为 1 的 n 次 Legendre 多项式 证明：板书

举例 例：(教材71页，例 7) 求 在[-1, 1]上的三次最佳平方逼近多项式 解：直接计算可得 S3*(x) = 0.1761x3 + 0.5367x2 + 0.9979x + 0.9963 误差

Legendre 最佳逼近 [a, b] [-1, 1] 一般区间上的最佳平方逼近多项式 f(x) S*(t) 设 f(x) C[a, b]，(x) = 1 ，计算 f(x) 在 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式 变量代换 [a, b] [-1, 1] f(x) S*(t)

Chebyshev 级数 Chebyshev 级数 在广义 Fourier 级数中取 k = Tk , k = 0, 1, 2, … 其中 一致收敛性：若 f ”(x) 在 [-1, 1] 上分段连续，则

Chebyshev 级数 部分和 误差 结论： 可看作是 f (x) 在 [-1, 1] 上的 n 次近似 最佳一致逼近多项式。

举例 例：(教材72页，例 8) 求 在[-1, 1]上的 Chebyshev 级数部分和 解： 直接计算可得 误差

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