机器人学关于SE（3）、se（3）、SO（3）、so（3）的理解

一、常用符号表

SE(3):特殊欧式群
se(3):特殊欧式群的李代数
SO(3): 三维特殊正交群
so(3): 三维特殊正交群的李代数
T(3):三维移动群
R: 旋转矩阵

二、关系

李代数：李群单位元处的切空间；

SO(3) 和T(3) 都是SE(3)的李子群
SO3——>log——>so3, 3×1 vector
SE3——>log——>se3, 6×1 vector
so3——>exp——>SO3, 3×3 matrix
se3——>exp——>SE3, 4×4 matrix

在刚体运动中：

SO(3)代表旋转运动（R∈SO(3)R\in SO(3)R∈SO(3)），齐次变换表示为: R001\begin{matrix} R&0\\ 0&1\\ \end{matrix}R001
T(3)代表平移运动，齐次变换表示为: ET01\begin{matrix} E&T\\ 0&1\\ \end{matrix}E0T1
SE3代表刚体变换运动（旋转+平移），齐次变换表示为: RT01\begin{matrix} R&T\\ 0&1\\ \end{matrix}R0T1
ξ^∈se(3)\hat{\xi} \in se(3)ξ^∈se(3)是SE(3)的李代数表达，物理上表示刚体的广义顺时速度,其中 ξ^\hat{\xi}ξ^ ω^v01\begin{matrix} \hat{\omega} &v\\ 0&1\\ \end{matrix}ω^0v1

通过 ^\hat{}^ 算子可以将4*4矩阵映射为六维向量ξ\xiξ，即：ωv\begin{matrix} \omega\\ v\\ \end{matrix}ωv
亦即运动旋量，其中ω\omegaω为旋转角速度(瞬时转动)，vvv为平移速度（瞬时移动）。

三、Sophus库

李群和李代数的库是Sophus，支持SO(3),so(3),SE(3)和se(3)的定义和运算，继承于Eigen，所以可以使用Eigen定义的类和函数。

三维旋转群SO3：Sophus::SO3
刚体变换群SE3：Sophus::SE3
李代数so(3)：Sophus::Vector3d so3
李代数se(3)：Sophus::Vector6d se3

需要注意的是：

尽管SO3对应于矩阵群，但是SO3在使用cout时是以so3形式输出的，输出的是一个3维向量;
SE3在使用cout输出时输出的是一个6维向量，其中前3维为对应的so3的值，后3维为实际的平移向量T;
se3在使用cout输出时输出的也是一个6维向量，但是其前3维为平移值T（注意此时的T与SE3输出的t是不同的，t=JT,其中J是雅可比矩阵），后3维为其对应的so3.

三、Sophus库转换关系图

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