有限元-朗格朗日和欧拉描述的区别
在学习有限元的过程中经常会出现拉格朗日描述、欧拉描述，拉格朗日描述又分为完全的拉格朗日格式、更新的拉格朗日格式，初学者很容易被这些描述和格式类型搞的晕头转向，因此有必要理清它们之间的关系。
引言
描述连续体的变形和响应有两种方式，即拉格朗日描述和欧拉描述。独立变量是材料坐标和时间的描述称为材料描述或拉格朗日描述；独立变量是空间坐标和时间的描述称为空间描述或欧拉描述。
通过对一维问题动量方程的弱形式进行对比，来区分和理解各种格式。
1 材料坐标和空间坐标
材料坐标用X表示，也称为拉格朗日坐标，材料坐标标记一个材料点，下图为朗格朗日描述，即节点始终与材料点重合，单元之间无材料流动。
空间坐标用x表示，也称为欧拉坐标，空间坐标指一点在空间中的位置，下图为欧拉描述，即节点始终与空间点重合，此时节点位置在空间上固定，材料点在单元中流动。
拉格朗日网格和欧拉网格，拉格朗日网格就像刻画在材料上，网格随着材料运动；欧拉网格刻画在空间上，不随材料运动，材料可在网格内流动。
2 欧拉描述
独立变量为空间坐标x和时间t，相关变量表示为空间坐标x和时间t的函数
控制方程，以动量方程为对象
通过对动量方程两端乘变分函数，并在空间域上积分，经过分部积分得到动量方程的弱形式
3 拉格朗日描述
在拉格朗日有限元的发展中，一般有两种方法：
1、完全的拉格朗日格式，
2、更新的拉格朗日格式
完全的拉格朗日格式中，在初始构型上描述变量，而更新的拉格朗日格式中，在当前构型上描述变量
3.1 完全的拉格朗日格式
独立变量为材料坐标X和时间t，相关变量名义应力P和位移u表示为材料坐标X和时间t的函数
动量方程
动量方程的弱形式
3.2 更新的拉格朗日格式
独立变量为材料坐标X和时间t，相关变量柯西应力和速度表示为材料坐标X和时间t的函数
动量方程
动量方程的弱形式
在更新的拉格朗日格式中，动量方程涉及的导数对应于欧拉坐标，而在完全的拉格朗日格式中涉及的导数对应于拉格朗日坐标。
4 总结
对比三种格式的动量方程弱形式，可以发现更新的拉格朗日和欧拉格式形式基本相同，很容易混淆，为了分清每种格式，需要从独立变量、相关变量、以及积分域进行区分。
下图中可以看出，拉格朗日格式的独立变量为材料坐标和时间，完全的拉格朗日格式积分域为初始构型，更新的拉格朗日积分域为当前构型；欧拉格式的独立变量为空间坐标和时间，积分域为空间固定区域，这里更新的拉格朗日和欧拉的积分域都写为（xa，xb），二者都是空间坐标，但物理意义不同，更新的拉格朗日积分限为初始构型（Xa,Xb）变形后对应的空间坐标，而欧拉格式的积分限（xa，xb）为欧拉网格对应的固定的空间域。
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