一．四种子码

1.码率零（Rate0，R0）

如果一个长为N=2^n的极化码没有信息比特，只有冻结比特，则称谓R0极化码，这种极化码虽然不携带信息，但他却可能作为一个子极化码来使用。

2.重复码（Repetion，Rep）

如果一个长为N=2^n的极化码只有uN是信息比特，其余u1,u2……uN-1是冻结比特，则该极化码为重复码，即所有码字比特相等。

3.单偶校验码（Single Parity Check，SPC）

如果一个长为N= 2^n的极化码只有u1=0是冻结比特，其余u2，u3……uN都是信息比特，则该极化码为SPC，即所有码字比特的和为0。

定理如果一个长为N=2^n的极化码只有u1=0是冻结比特，其余u2，u3……uN都是信息比特，则对于任意的该极化码的码字，所有码字比特的和为0。

证明这是一个简单的结论，我们使用对n用归纳法。

源头：当n=1，信源为(0,u2)，(0,u2)F=(u2，u2)，显然无论u取值为何，有u2+u2=0
归纳假设：当n=k时，只有u1=0是冻结比特，其余都是信息比特，则任意的该极化码的码字，所有码字比特的和为0。
下一步：当n=k+1时，信源序列可以写为 $\left (0,u_{2} ,u_{3},\cdots ,u_{2^{k}}|u_{2^{k}+1},\cdots ,u_{2^{k+1}} \right )$ ，其中竖线表示把信源序列分为前一半和后一半， $u_{2} ,u_{3},\cdots ,u_{2^{k+1}}$ 的取值任意。对于任意一个满足题设条件的码长为 $2{^{k+1}}$ 的码字x把上式中所有比特求和，两个相同的部分抵消，剩下的根据归纳假设，这一部分为0，证毕。

4.码率一（Rate1，R1）

如果一个长为N=2^n的极化码所有信源比特都是信息比特，则该极化码为R1码。此时的码率为1，信源序列和码字序列的数量都是2^n个，等价于没有编码。

二、各个子码译码

上图为N=32，K=16时，使用高斯近似构造的极化码，其中白色节点代表其所有的叶节点都是冻结比特，黑色节点代表其所有叶节点都是信息比特，灰色则代表既包括冻结比特也包括信息比特。

很明显任何极化码都可以用第一部分介绍的四种子码来表示，那么在译码时，我们中需要分别处理各个字码即可快速译码。

1.R0码

R0码是最简单的码字，因为它的值是确定的，根本无需译码。

2.Rep码的最大似然译码

发送长度为N=2^n的Rep码，经过转移概率为Pr（y|x),则其最大似然译码的方法如下

$S=\sum_{i=1}^{N}In\frac{Pr(y_{i}|0)}{Pr(y_{i}|1)}$

S就是接受对数似然比的和。如果S>=0，则Rep码译码为全0序列，否则译码为全1序列，

3.SPC码的最大似然译码

发送长度为N=2^n的SPC码，经过转移概率为Pr（y|x），首先硬判决比特得到比特序列 $\left ( \beta _{1} , \beta _{2}\cdots \beta _{N}\right )$ :

$\beta_{i} =\frac{1-sign\left (In\frac{Pr(y_{i}|0)}{Pr(y_{i}|1)} \right )}{2}$

如果所有码字比特的和为0，则译码结束；如果所有码字比特的和为1，则选取 $p=arg min_{1\leqslant i\leqslant N}\left \{ \left | In\frac{Pr\left [ y|0 \right ]}{Pr \left [ y|1 \right ]} \right | \right \}$ ,令 $\beta _{p}=\beta _{p}\oplus 1$ (翻转具有最小LLR绝对值的接受信号对应的硬判决比特)，则 $\left ( \beta _{1} , \beta _{2}\cdots \beta _{N}\right )$ 是最大似然译码结果。

4.R1码的最大似然译码

发送长度为N=2^n的R1码，经过转移概率为Pr（y|x），硬判决每一个接受信号，得到硬判决比特得到比特序列 $\left ( \beta _{1} , \beta _{2}\cdots \beta _{N}\right )$ :

$\beta_{i} =\frac{1-sign\left (In\frac{Pr(y_{i}|0)}{Pr(y_{i}|1)} \right )}{2}$

$\left ( \beta _{1} , \beta _{2}\cdots \beta _{N}\right )$ 就是最大似然译码结果。

参考文献

[1]《极化码讲义》A Fist Course in Polar Codes 于永润

[2] Alamdar-Yazdi A, Kschischang F R. A simplifified successive-cancellation decoder for polar codes[J]. IEEE Communications Letters, 2011, 15(12): 1378-1380

[3] Increasing the throughput of polar decoders [J]. IEEE Communications Letters, 2013, 17(4): 725-728

[4]Hanif M, Ardakani M. Fast successive-cancellation decoding of polar codes: identifification and decoding of new nodes [J]. IEEE Communications Letters, 2017, 21(11): 2360-2363

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