Discrete regularity for graph Laplacians --Jeff Calder
pdf和视频资源：http://www.ipam.ucla.edu/abstract/?tid=15794&pcode=HJWS4

Introduction

graph-based learning. 目的基本都是做clustering或者半监督的clustering。
geometric weights $wxy=η(∣x−y∣ε)w_{xy}=\eta\left(\dfrac{|x-y|}{\varepsilon}\right)$
spectral clustering.
– 最简单的 graph cuts: $min⁡A⊂χCut(A):=∑x,y∈χ;x∈A,y∉Awxy\min_{A \subset \chi} \text{Cut}(A): = \sum_{x,y\in \chi; x\in A, y \notin A} w_{xy}$ . 问题：使 $A={x}$ -> unbalanced
– balanced cut: $min⁡A⊂χCut(A)Vol(A)Vol(χ∖A)\min_{A \subset \chi} \dfrac{\text{Cut}(A)}{\text{Vol}(A)\text{Vol}(\chi \setminus A)}$ ，其中 $Vol(A)=∑x∈A∑y∈χwxy\text{Vol}(A)=\sum_{x \in A}\sum_{y \in \chi} w_{xy}$ 。问题：NP难
– spectral clustering:
设 $u (x) = 1$ ，若 $\in A$ ，否则为0。有
$Cut(A)=∑x,y∈χ;x∈A,y∉Awxy=12∑x,y∈χwxy(u(x)−u(y))2\text{Cut}(A)=\sum_{x,y \in \chi; x \in A, y \notin A}w_{xy}=\dfrac{1}{2}\sum_{x,y \in \chi} w_{xy} (u(x)-u(y))^2$ 且 $Vol(A)=∑x,y∈χwxyu(x)\text{Vol}(A)=\sum_{x,y \in \chi} w_{xy} u(x)$ 。此时，balanced cut可变为
$min⁡u:χ→{0,1}∑x,y∈χwxy(u(x)−u(y))2∑x,y,x′,y′∈χu(x)wxy(1−u(y′))wx′y′\min_{u:\chi \rightarrow \{0,1\}} \dfrac{\sum_{x,y \in \chi} w_{xy}(u(x)-u(y))^2}{\sum_{x,y,x',y' \in \chi} u(x)w_{xy} (1-u(y'))w_{x'y'}}$ $min⁡u:χ→R,∑x∈χu(x)≠0∑x,y∈χwxy(u(x)−u(y))2∑x∈χu(x)2\min_{u:\chi \rightarrow R, \sum_{x\in \chi} u(x) \neq 0} \dfrac{\sum_{x,y \in \chi} w_{xy}(u(x)-u(y))^2}{\sum_{x \in \chi} u(x)^2}$ 第二个是第一个的relaxed problem，其解为拉普拉斯图的最小非平凡特征向量（Fiedler向量）。
分成 $k$ 组聚类，去拉普拉斯前 $k$ 个特征向量： $u1,...,uk:χ→Ru_1,...,u_k: \chi \rightarrow \mathbb{R}$ 。定义spectral embedding $Ψ:χ→Rk\Psi:\chi\rightarrow \mathbb{R}^k$ ，有 $Ψ(x)=(u1(x),...,uk(x))\Psi(x)=(u_1(x),...,u_k(x))$ 。
the manifold assumption
– 先简单了解下流形，见链接https://www.zhihu.com/question/24015486
– 设 $M⊂Rd\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^d$ 为compact, connected, orientable, smooth的 $m$ 维流形。 $dM(x,y)d_{\mathcal{M}}(x,y)$ ：the geodesic distance between $\in \mathcal{M}$ 。定义一个球 $BM(x,r)={y∈M:dM(x,y)<r}B_{\mathcal{M}}(x,r)=\{y \in \mathcal{M}: d_{\mathcal{M}}(x,y)<r\}$ .
密度 $ρ∈C2(M)\rho\in C^2(\mathcal{M})$ ， $ρ>0\rho>0$ 。令 $χn={x1,...,xn}\chi_n=\{x_1,...,x_n\}$ 为 $ρdVolM\rho d\textit{Vol}_{\mathcal{M}}$ 的一个独立同分布。
– 随机几何图 random geometric graph，权重为 $wxy=η(∣x−y∣ε)w_{xy}=\eta \left( \dfrac{|x-y|}{\varepsilon }\right)$ ，其中 $η(t)=0,fort>1,∫Rmη(∣w∣)dw=1\eta(t) = 0 \textit{, for } t>1, \int_{\mathbb{R}^m}\eta(|w|)dw=1$ 第二个条件为Lipschitz。
– spectral convergence. 图-拉普拉斯算子的谱收敛（ $\rightarrow \infty, \varepsilon \rightarrow 0$ ）到加权Laplace-Beltrami算子的谱，即 $ΔMu=−ρ−1divM(ρ2▽Mu)\Delta_{\mathcal{M}}u=-\rho^{-1}\text{div}_{\mathcal{M}}(\rho^2\bigtriangledown_{\mathcal{M}}u)$

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