T4牛半仙的魔塔（增强版）

题目描述

牛半仙的妹子被大魔王抓走了，牛半仙为了就他的妹子，前往攻打魔塔。

魔塔为一棵树，牛半仙初始在一号点。

牛半仙有攻击，防御，血量三个属性。

除一号点外每个点都有魔物防守，魔物也有攻击，防御，血量三个属性。

每个怪物后面都守着一些蓝宝石，获得1蓝宝石可增加1防。

牛半仙具有突袭属性，所以遇到魔物后会率先发动攻击，然后牛半仙和魔物轮换地攻击对方。

一个角色被攻击一次减少的血量是对方的攻击减去自己的防御。

当一个角色的血量小于等于 0 时，他就会死亡。

当牛半仙第一次到达某个节点时会与这个节点的魔物发生战斗。

当一个魔物死亡后，这个魔物所在的节点就不会再产生新的魔物。

现在牛半仙想知道他打死魔塔的所有魔物后的最大血量。

输入描述:

第一行一个 n 代表节点数。随后 n-1 行，每行两个数 i,j，表示 i 与 j 节点有边相连。
随后一行，三个数，依次为勇士的血量、攻击、防御。随后 n-1 行，每行四个数，依次为怪物的血量、攻击、防御，和其守着的蓝宝石数量。

输出描述:

一个数，代表最大血量。如果牛半仙在打死魔塔的所有魔物之前就已经死亡了，则输出 -1。

备注:

对于100%的数据: n ≤ 1 0 5 n \le 10^5 n≤105，树
对于100%的数据：有牛半仙血量 < 5 ∗ 1 0 18 <5*10^{18} <5∗1018，攻击 = 2000 =2000 =2000，盔甲防御 = 0 =0 =0。怪物血量为 3000 3000 3000 ~
1 0 6 10^6 106，攻击 5 × 1 0 5 5×10^5 5×105− 7 × 1 0 5 7\times 10^5 7×105，防御 ≤ 1000 \leq 1000 ≤1000，打完一只怪后获得的蓝宝石数量为 1 1 1至 5 5 5

官方题解看懂自己琢磨了一下想通了
所以写个通俗 ju ruo 点儿的

考虑第 i i i个攻击的怪

记第 i i i个怪有 b i b_i bi个蓝宝石

因为怪的血量和攻击和防御是不变的勇士的攻击也是不变的

所以它会被勇士攻击 ⌈ 血量勇士攻击 − 防御 ⌉ \lceil\dfrac{血量}{勇士攻击-防御}\rceil ⌈勇士攻击−防御血量⌉ 轮

并攻击勇士 ⌈ 血量勇士攻击 − 防御 ⌉ − 1 \lceil\dfrac{血量}{勇士攻击-防御}\rceil -1 ⌈勇士攻击−防御血量⌉−1 轮可直接求出记为 h i h_i hi

造成的伤害为 h i × ( 攻击 − 初始防御 − ∑ j = 1 i − 1 b i ) h_i\times (攻击-初始防御-\sum_{j=1}^{i-1}b_i) hi×(攻击−初始防御−∑j=1i−1bi)

总伤害为 ∑ i = 1 n h i × ( 攻击 − 初始防御 − ∑ j = 1 i − 1 b i ) \sum_{i=1}^n h_i\times (攻击-初始防御-\sum_{j=1}^{i-1}b_i) ∑i=1nhi×(攻击−初始防御−∑j=1i−1bi)

求这个的最小值即求 ∑ i = 1 n h i × ∑ j = 1 i − 1 b i \sum_{i=1}^n h_i\times \sum_{j=1}^{i-1}b_i ∑i=1nhi×∑j=1i−1bi 的最大值

可以推出按照权值 t i = h i b i t_i=\dfrac{h_i}{b_i} ti=bihi 升序排出来的答案最优

证明：若最优的情况为： h 1 , h 2 . . . h n h_1,h_2...h_n h1,h2...hn 。交换 i i i, i + 1 i+1 i+1答案的改变量是 h i × b i + 1 − h i + 1 × b i < 0 h_i\times b_{i+1}-h_{i+1}\times b_i<0 hi×bi+1−hi+1×bi<0

即 h i b i < h i + 1 b i + 1 \dfrac{h_i}{b_i}<\dfrac{h_{i+1}}{b_{i+1}} bihi<bi+1hi+1 得证（感性理解也可）

考虑贪心我们先攻击 t i t_i ti 小的再攻击大的

显然不行比如一个 t i t_i ti大的点有很多 t i t_i ti 小的子节点

这里给出一个结论
若儿子节点 y y y 的 t t t 小于父亲节点 x x x 的 t t t
那么攻击了的父亲节点 x x x 过后会立即攻击儿子 y y y （这里好好想想为什么）

根据这个结论我们可以从权值最小的节点开始若节点 y y y 的权值小于父亲 x x x
这就意味着会连续攻击 x , y x,y x,y
我们就把 y y y 合并到 x x x 上合并成一个大点

这个大点的权值 t t t 变成 ∑ h i ∑ b i \dfrac{\sum h_i}{\sum b_i} ∑bi∑hi

证明：若 1 1 1号节点和 2 2 2节点要连续攻击比较下面两种情况对答案的贡献

① 按 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3 排 h 2 × b 1 + h 3 × ( b 1 + b 2 ) h_2\times b_1+h_3\times (b_1+b_2) h2×b1+h3×(b1+b2)

② 按 3 , 1 , 2 3,1,2 3,1,2 排 h 1 × b 3 + h 2 × ( b 3 + b 1 ) h_1\times b_3+h_2\times (b_3+b_1) h1×b3+h2×(b3+b1)

①-②得 h 3 ( b 1 + b 2 ) − ( h 1 + h 2 ) b 3 h_3(b_1+b_2)-(h_1+h_2)b_3 h3(b1+b2)−(h1+h2)b3

比较答案大小即比较的是 h 1 + h 2 b 1 + b 2 \dfrac{h_1+h_2}{b_1+b_2} b1+b2h1+h2和 h 3 b 3 \dfrac{h_3}{b_3} b3h3 的大小所以大点的权值为 ∑ h i ∑ b i \dfrac{\sum h_i}{\sum b_i} ∑bi∑hi 得证

从权值最小的节点开始若点 y y y 的权值小于父亲所在的大点 x x x 就把 y y y 合并到 x x x 上合并成一个大点

处理完后就从根节点开始贪心地选择可以到达点中权值最小的点

所形成的顺序就是攻击怪物的顺序了

#include <bits/stdc++.h>
#define N 210000
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
int f[N],nxt[N],data[N],num,fa[N],ff[N];
ll ans;
bool tag[N];
struct node{ll val,siz,pos;
}h[N];
inline bool operator <(node x,node y){ return 1ll*x.val*y.siz>1ll*y.val*x.siz; }
inline void add(int x,int y){ nxt[++num]=f[x]; f[x]=num; data[num]=y; }
priority_queue<node> q;
inline int findf(int x){ return fa[x]==x?x:fa[x]=findf(fa[x]); }
inline void dfs(int x){int y;for(int i=f[x];i;i=nxt[i]){y=data[i]; if(y==ff[x])continue;ff[y]=x; dfs(y); }
}
int main(){cin>>n;ll x,y,z,a,b;for(int i=1;i<n;i++){ scanf("%lld %lld",&x,&y); add(x,y); add(y,x); }scanf("%lld %lld %lld",&ans,&a,&b); fa[1]=1;h[1].siz=b;for(int i=2;i<=n;i++){fa[i]=i;scanf("%lld %lld %lld %lld",&z,&x,&y,&h[i].siz);h[i].val=z/(a-y); if(z%(a-y)!=0)h[i].val++;h[i].val--;ans-=(x-b)*h[i].val;h[i].pos=i;q.push(h[i]);}dfs(1);node u;while(!q.empty()){u=q.top(); q.pop(); x=u.pos;if(tag[x])continue; tag[x]=1;y=findf(ff[x]);ans+=h[y].siz*h[x].val;h[y].val+=h[x].val; h[y].siz+=h[x].siz;if(y!=1&&tag[y]==0)q.push(h[y]);fa[x]=y;}cout<<ans;
}

讲得不清楚就问哦毕竟蒟蒻描述能力真的…不太好

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