前言

点击查看算法介绍

五大算法

分治算法
动态规划
贪心算法
回溯算法
分支限界算法

WX搜素"Java长征记"对这些算法也有详细介绍。

回溯算法

一、算法概述

   回溯算法是一种择优搜索法，按照选优的条件向前搜索，以达到目标。但当探索
到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通
就退回再走的技术称之为回溯法。

二、相关概念

一一解空间

对于一个复杂的问题的解决方案是由一个决策序列构成，所以对于这个问题的节可以用一个解向量来表示X<x1,x2,…xn>，Xi（1≤i≤n代表对应第i步的选择，所有的取值组合构成问题的解向量空间，简称解空间又称解空间树(Because解空间一般用书的形式来组织)。

一一解空间树的两种类型

子集树：当所给问题是从n个元素的集合中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树

排列数：当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间称为排列树。

一一剪枝函数（搜索过程中的裁剪过程）

用约束条件剪除得不到的可行解的子树

用限界函数剪取得不到最优解的子树

【运用剪枝函数可以避免无效搜索】

一一深度优先与宽度优先

结合例子加深理解

深度优先： 说简单一点就是靠近左边的子树优先遍历，且若可一直向前走（即往深度递增的方向），走到尽头再回头。

（图例深度优先遍历结果：1→2→3→5→8→9 →6→7→4）

宽度优先： 说简单就就是从根开始遍历完每一层（从左至右）再继续下一层。

（图例宽度优先遍历结果：1→2→3→4→5→6 →7→8→9 ）

三、回溯算法的思想

回溯算法一般适用于搜索问题和优化问题；
回溯算法通过搜索解空间树，其中树的每个节点对应部分问题的解，最终会在树的叶子节点上得到可行解；
回溯算法的搜索过程采用系统的搜索方法隐含的去遍历树
【解释：系统的搜索方法即就是采用深度优先或宽度优先等其他的方法
隐含遍历是指所有的节点都会被看到，但不一定会完全访问到。因为在搜索过程中会有一个裁剪的过程】
对于节点的分支判断，如果满足约束条件，则分支扩张解向量；反之，回溯到该节点的父节点。

四、回溯算法的使用条件

满足多米诺性质

五、回溯算法的实现

一一回溯法的设计步骤：（参考下）

定义解向量和每个分量的取值范围，解向量为 < x1, x2, …,xn>确定 xi 的取值集合为 Xi , i =1,2,…, n.

在<x1,x2,…,xk-1>确定如何计算 xk取值集合Sk, Sk ⊆ Xk

确定节点儿子的排列规则

判断是否满足多米诺性质

确定每个节点分支的约束条件

确定搜索策略: 深度优先,宽度优先等

确定存储搜索路径的数据结构

一一递归实现思想

一一迭代实现

六、回溯法的经典例子

皇后问题
装载问题
0-1背包问题
图的着色

皇后问题

问题介绍（4后）

   在 4 × 4 的方格棋盘上放置4个皇后，使得没有两个皇后在同一行、同一列、也不
同一条45度的斜线上.问有多少种可能的布局？

解: <2,4,1,3>， < 3,1,4,2>

例-<2,4,1,3>的排列

【横行依次代表1-4皇后编号，纵行代表对应编号皇后的位置】

部分图解分析搜索过程

【说明： 每个节点都有4个儿子，分别代表选择1,2,3,4列位置】

程序：

//皇后问题
package com.company;import java.util.*;
public class Queen {private static int n;//皇后的个数private static int X[];//存放皇后位置private static int count;//统计解的数目public Queen(int n){this.n=n;X=new int[n];System.out.print(backTrace(1));}/*回溯法放皇后*/public static int backTrace(int t){if(t>n) {System.out.println(Arrays.toString(X));count++;}else{  /*第t个婚后，遍历所有的节点（位置）*/for(int i=1;i<=n;i++){X[t-1]=i;//存放t皇后的当前假设位置if(isPutQueen(t)) {backTrace(t+1);}}}return count;}/**判断是否为45度，用编号差绝对值和存放位置差的绝对值作比较* 判断是否在同一列直接比较对应位置即可*//*判断是否能放置皇后*/public static boolean isPutQueen(int num){for(int i = 1; i < num; i++)if(Math.abs(num-i)==Math.abs(X[num-1]-X[i-1])||X[num-1]==X[i-1])//约束条件return false;return true;}public static void main(String[] args){new Queen(4);}
}

装载问题

问题介绍

  有n个集装箱，需要装上两艘载重分别为c1和c2的轮船. wi为第 i 个集装箱的重
量，且 w1+w2+...+wn ≤ c1+ c2问：是否存在一种合理的装载方案把这 n 个集装箱
装上船？如果有，请给出一种方案.

问题分析

输入: W=<w1,w2, …, wn>为集装箱重量c1和c2为船的最大载重量
思想：令第一艘船的装入量为W1,
用回溯算法求得c1−W1达到最小的装载方案.判断是否满足w1+w2+…+wn−W1≤ c2
解空间：0-1取值二叉树，为子集树

伪码

实例
W = < 90,80,40,30,20,12,10 > c1=152, c2=130

部分图解分析

程序一：【与伪码对应】

//装载问题
package com.company;import java.util.Arrays;public class Loading {private static int W[]={90,80,40,30,20,12,10};private static int X[]=new int[W.length+1];//记录可行解private static int bestX[]=new int[W.length];//记录最优解private static int c1=152,b=152,best=152;//c1为轮船最大容量，b为当前轮船剩余装载量，best为最优剩余装载量private static int i=1;/*深度遍历装载*/public static void loading() {while( i < W.length) {if (W[i-1] <= b) {X[i] = 1;b = b - W[i-1];i++;} else {X[i] = 0;i++;}}if (b < best) {best = b;for (int j = 0; j < bestX.length; j++)bestX[j] = X[j + 1];}backTrack();if(i==1)return ;loading();}/*回溯*/public static void backTrack(){while (i > 1 && X[i] == 0)i--;if (X[i] == 1) {X[i]=0;b += W[i-1];i++;}}public static void main(String[] args) {loading();System.out.println("最优解为："+Arrays.toString(bestX)+"\n最大装载量为："+(c1-best));}
}

程序二：【该实现方法不用排序】

//装载问题
package com.company;public class Loading {private static int w[]={90,80,40,30,20,12,10};private static int n=w.length;//集装箱个数private static int c=152;//第一艘轮船的载重量private static int cw;//当前载重量private static int r;//剩余集装箱重量private static int bestW;//当前最优载重量private static int[] x=new int[w.length];//当前解private static int[] bestX=new int[w.length];//当前最优解public static void main(String[] args){loading();}public static void loading() {for (int i = 0; i < n; i++)r += w[i];//期初剩余集装箱的重量是所有集装箱重量和backTrace(0);for (int i = 0; i < n; i++)System.out.print(bestX[i] + " ");System.out.println("最优解：" + bestW);}public static void backTrace(int i) {//1.到达叶节点if (i > n-1) {   //i此时的值=叶节点+1if (cw > bestW) {for (int j = 0; j < n; j++) {bestX[j] = x[j];bestW = cw;}return;}}r -= w[i];//2.搜索左子树if (cw + w[i] <= c) {   //x[i] =1x[i] = 1;cw += w[i];backTrace(i + 1);cw -= w[i];}//3.搜索右子树if (cw + r > bestW) {x[i] = 0;backTrace(i + 1);}r += w[i];}
}

时间复杂度：

W(n)=O(2n)

0-1背包问题

问题介绍【类似于装载问题】

   有n种物品，每种物品只有 1个. 第i 种物品价值为 vi , 重量为 wi , i =1,2,…, n.
问如何选择放入背包的物品，使得总重量不超过 B, 而价值达到最大？

问题分析

解：n维0-1向量<x1, x2, …, xn>， xi =1/0⇔物品 i (不)选入背包
搜索空间：0-1取值的二叉树, 称为子集树，有2^n片树叶.

实例:
V={12,11,9,8}, W={8,6,4,3}, B=13

图解分析

程序

package com.company;import java.util.Arrays;
public class Package {private static int weight[] = {8, 6, 4, 3};private static int value[] = {12, 11, 9, 8};//bestValue保存最优价值，curValue、curWeight分别为当前价值和重量private static int b = 13, bestValue, curValue, curWeight;private static int X[] = new int[weight.length];//记录解private static int bestX[] = X;//记录最优解private static int v;//当前剩余价值public static void main(String[] args){for(int i=0;i<value.length;i++)v+=value[i];packageTraceBack(0);System.out.println(Arrays.toString(bestX)+bestValue);}public static void packageTraceBack(int t) {/*到达叶节点*/if (t > weight.length - 1) {/*更新最优解*/if (bestValue < curValue) {bestValue = curValue;for (int i = 0; i < weight.length; i++)bestX[i] = X[i];return;}}v-=value[t];/*搜索左子树*/if (curWeight + weight[t] <= b) {X[t] = 1;curWeight += weight[t];curValue += value[t];packageTraceBack(t + 1);curWeight -= weight[t];curValue -=value[t];}/*搜索右子树*/if(curValue + v > bestValue){X[t] = 0;packageTraceBack(t + 1);}v+=value[t];}
}

图的着色

问题介绍

   无向连通图 G和 m 种颜色的集合用这些颜色给图的顶点着色，每个顶点一种颜色.
要求是：G 的每条边的两个顶点着不同颜色.

问题分析

解向量：<x1, x2, …, xn>， x1, x2, …, xn∈{1,2, …, m }
搜索树：m叉树
搜索策略：深度优先

实例分析：

部分图解

程序

//图的着色
package com.company;public class Coloring {private static int vertex[][]={{0,1,0,0,0,1,1},{1,0,3,1,1,0,1},{0,1,0,1,0,0,1},{0,0,1,0,1,1,0},{0,0,0,1,0,1,0},{1,0,0,1,1,0,1},{1,1,1,0,0,1,0}};//图的邻接矩阵表示private static int n=vertex[1].length;//图的顶点数private static int m=3;//颜色数，分别用1、2、3代表不同的颜色private static int x[]= {0,0,0,0,0,0,0},sum=0;//记录可行解和解的个数public static void main(String[] args){backTrace(0);}/*判断是否能着色*/public static boolean isOK(int t){for(int i=0;i<t;i++)if(vertex[t][i]==1 && x[i]==x[t])return false;return true;}/*回溯图色*/public static void backTrace(int t){if(t>n-1)//到达叶子节点{sum++;System.out.println("第"+sum+"种方案: ");for(int i=0;i<n;i++)System.out.print(x[i]+" ");System.out.println();return;}for(int i=1;i<=m;i++){x[t]=i;if(isOK(t))backTrace(t+1);}}
}

时间复杂度分析

时间复杂度为：O(nmn)

改进：

高中应该也做过这种概率统计题，不难看出他的对称性，例如上面这个实例，不难分析出它有6种方案，我们只需求出其中1/6即可，后面的通过对称就可得到。这样一来就缩小了时间复杂度。

也可以根据结合图的邻接特点裁掉部分搜索过程，例1、2、3顶点已经涂了三种不同的色，那么7就不能满足要求，所以就可以裁去对应的搜索子树。但是这样就需要增加一个判定工作量。具体问题具体在分析，看哪种方案最优。

干货分享

想学习更多的关于Java基础、算法、数据结构等编程知识的WX搜索"Java长征记"。上面的这些在里面也有详细介绍。

程序员都会的五大算法之四（回溯算法），恶补恶补恶补！！！相关推荐

程序员都会的五大算法之三（贪心算法），恶补恶补恶补！！！
前言点击查看算法介绍五大算法分治算法动态规划贪心算法回溯算法分支限界算法 WX搜素"Java长征记"对这些算法也有详细介绍. 贪心算法一.算法概述贪心算法也叫贪婪 ...
程序员都会的五大算法之一（分治算法），恶补恶补恶补！！！
前言点击查看算法介绍五大算法分治算法动态规划贪心算法回溯算法分支限界算法 WX搜素"Java长征记"对这些算法也有详细介绍. 分治算法一.算法概述简单来说,分治算 ...
程序员都会的五大算法之五（分支限界法），恶补恶补恶补！！！
前言点击查看算法介绍五大算法分治算法动态规划贪心算法回溯算法分支限界算法 WX搜素"Java长征记"对这些算法也有详细介绍. 分支限界算法一.算法概述分支限界法其 ...
程序员考核的五大死因
程序员考核的五大死因(上) 程序员作为企业开发力量的最核心资产,无疑得到公司从上至下的一致关注.开发是个智力密集型产业,程序开发的特点是,付出相同时间的情况下,两个开发者之间的产能会相差十几甚至几十倍 ...
Python程序员都会喜欢的6个库
在编程时,小挫折可能与大难题一样令人痛苦.没人希望在费劲心思之后,只是做到弹出消息窗口或是快速写入数据库.因此,程序员都会喜欢那些能够快速处理这些问题,同时长远来看也很健壮的解决方案. 下面这6个Py ...
每个程序员都会的35种小技巧
每个程序员都会的35个jQuery小技巧! 1. 禁止右键点击 $(document).ready(function(){ $(document).bind("contextmenu ...
常用十大算法非递归二分查找、分治法、动态规划、贪心算法、回溯算法(骑士周游为例)、KMP、最小生成树算法：Prim、Kruskal、最短路径算法：Dijkstra、Floyd。
十大算法学完数据结构该学什么?当然是来巩固算法,下面介绍了十中比较常用的算法,希望能帮到大家. 包括:非递归二分查找.分治法.动态规划.贪心算法.回溯算法(骑士周游为例).KMP.最小生成树算法:P ...
一文了解贪心算法和回溯算法在前端中的应用
一文了解贪心算法和回溯算法在前端中的应用一.贪心算法 1.贪心算法是什么? 2.应用场景 3.场景剖析:零钱兑换二.回溯算法 1.回溯算法是什么? 2.什么问题适合选用回溯算法解决? 2.应用场景 ...
程序员笔试面试最爱考察的算法，到底怎么搞定？
作者 | 黄小斜责编 | 屠敏本文思维导图什么是算法上回我们有一篇文章,讲述了作为一个新人程序员,如何学习数据结构这门课程,其实呢,数据结构和算法是息息相关的,为什么这么说呢,因为数据结构本身 ...

程序员都会的五大算法之四（回溯算法），恶补恶补恶补！！！

前言

五大算法

回溯算法

一、算法概述

二、相关概念

一一解空间

一一解空间树的两种类型

一一剪枝函数（搜索过程中的裁剪过程）

一一深度优先与宽度优先

三、回溯算法的思想

四、回溯算法的使用条件

五、回溯算法的实现

一一回溯法的设计步骤：（参考下）

六、回溯法的经典例子

皇后问题

装载问题

0-1背包问题

图的着色

干货分享

程序员都会的五大算法之四（回溯算法），恶补恶补恶补！！！相关推荐

最新文章

热门文章