时间复杂度

时间复杂度是什么？
可以理解为程序中的基本操作要执行的次数，而并非是真正以时间为单位的量，一般用默认是最坏情况下程序要执行的次数。时间复杂度用O（……）来表示。

时间复杂度的分类：
O(1)常数型、O(n²)平方型、O(n³)立方型、O(log n)对数型、O(n*log n) 、O(n)线型、O(2^ n)指数型。

时间复杂度的计算方法：
1.循环嵌套，内外循环的最大次数相乘。例如：↓ 时间复杂度为O（n²）

for(i=1; i<=n; i++){//循环n次for(j=1; j<=n; j++)//循环n次ans = ans + i + j;
}

如果是↓ 那么时间复杂度为O（n³）

for(i=1; i<=n; i++){for(j=1; j<=n; j++){for(k=1; k<=n; k++)ans =  ans + i + j + k;}
}

2.循环平行，相加。例如↓ 时间复杂度为O（n² + 2^n）

for(i=1; i<=n; i++){for(j=1; j<=n; j++)ans = ans + i + j;
}
for(k=1; k<=n; k++){for(m=1; m<=2^n; m++)ans =  ans + k + m;
}

3.常数忽略。例如↓ 时间复杂度为O（1），这里用的10举例，但如果这个数取了一个很大的数还要另外考虑。

for(i=1; i<=10; i++){ans = ans + i;
}

还有↓ 时间复杂度为O（n）不要认为是O（2*n + 1）

for(i=1; i<=2n; i++){for(j=1; j<=10; j++)ans = ans + i;
}

如果没有循环↓ 也就是说，算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，那么它的时间复杂度是O（1）

int a = 1;
int b = 2;
int c;
a = a + b;
b = b + a;
c = a + b;

4.递归算法的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归中循环的次数。例子是第5条n*log n的例子，因为快速排序应用了递归调用。

5.log n和n*log n是怎么出现的呢？先看第一个例子

while(i < 2^8){i *= 2;
}

这个循环会执行几次？3次，求法为：log2 8 = 3，那如果8是n呢？那就是log2 n次了，所以就会出现时间复杂度为log n的情况，那n*log n怎么回事？请看下面的例子：该例子是快速排序。数组num[n]默认已经初始化

void quicksort(int left, int right){int i, j, t, key;if(left > right)return ;key = num[left];i = left;j = right;while(i != j){while(a[j]>=key && i<j)j--;while(a[i]<=key && i<j)i++;if(i<j){t = a[i];a[i] = a[j];a[j] = t;}}a[key] = a[i];a[i] = temp;quicksort(left, i-1);quicksort(i+1, right);return ;
}

第一次递归遍历n个数，然后数组分为两个区域，每个区域再和每个区域内的key进行比较，比较的次数还是近似于n，所以递归中循环比较的次数近似为n，那么循环了几次呢？快速排序可以想象成与一个完全二叉树，而这个完全二叉树的树高就是循环次数，树高为log n，所以快速排序的时间复杂度为n*log n。

快速排序：

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