琴弦发声原理【matlab调音_3】
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摘要：在前两篇博文中我们已经实现了matlab的乐曲演奏以及音色修正，这里我们将以小提琴为例，通过简化动力学模型推导其发声原理及基准频率，然后结合前两篇博文的处理办法就能实现matlab拟合小提琴演奏发声了。
提要
本文重点介绍发声原理及基准频率计算方法
小提琴的演奏，我们可以简化的看为弦振动问题
简化物理模型
一根均匀弦两端分别固定在x=0以及x=L处，设初始速度为零，初始时刻弦的形状为一抛物线，抛物线的顶点为(L/2,h)。(L为弦长,h为最大振幅)
简化动力学模型
小提琴演奏时，在0到L的范围内，拉动琴弦。根据物理模型推导可得弦简化动力学方程。（注：振动方程非本人推到，借用了《Emotional recognition for chime bell music》一文）
其中a代表琴弦振动加速度,u(0,t)=0,u(L,t)=0为琴弦边界条件, 第3个等式代表初始加速度条件，第4个等式表示在x=0,x=L处（即弦两端）不发声。包含了初始拉弦位置以及振幅信息。
方程处理
利用分离变量法处理上述简化动力学模型：
代入原方程得：
根据边界条件，可得本征方程为，则小提琴琴弦振动方程可表示为：
其中Cn、Dn为系数。
将初始条件代入可得
上式中左侧部分为右侧部分中函数的傅里叶级数，由此可求得系数：
（Dn表达式过于复杂这里就不做展示）,将系数代入（2）中，可得小提琴的振动方程为
琴弦发音原理推导
小提琴声音是通过把琴弦的振动经过琴码传递到共鸣体，使得共鸣腔体产生共振，带动箱内外空气振动而产生的，而弦的振动则来源于琴弓与琴弦的相互作用。小提琴发声产生的振动大致分为弦的振动、琴码的振动和共鸣箱的振动三种，在此我们仅研究琴弦的振动，因此用matlab仿真出来的声音于原声肯定有所偏差。琴弦振动分为横振动、纵振动、扭转振动和倍频振动，这里我们只研究横振动。横振动，将弦挑离其平衡位置再放掉，弦就开始做一个扁纱锭型的振动，它的振幅限制在两条明确的曲线之内。弦的横振动频率可以用泰勒公式表示为
其中，式中f为弦的振动频率，ρ、F、L依次为弦的线密度、拉力和长度，我们把它看作与小提琴本身性质相关的相关参数，并且它们直接影响发声。且看出横振动频率与弦长成反比，与张力的平方根成正比，与弦线的密度的平方根成反比。
相关参数的确立
有效琴弦长度L：《小提琴制作艺术》【英】克里斯.约翰逊,罗伊.考特诺尔著一书中讲到安装琴颈时琴颈站位与琴身站位比例为2比3，即F孔两个小缺口下口325毫米处。在此我们定弦长L=325mm=0.325m<注：此处我们选用的是4/4M尺寸的小提琴，即成人常用小提琴>
表1琴弦参数
琴弦拉力F:由下表1可得H311型号E-Mi弦拉力为18.6磅。因此我们定为18.6磅=8.436kg=82.6728N
琴弦线密度:已知E-Mi钢弦的密度为7.8g/cm^3=7800kg/m^3,E弦直径为0.276mm则半径为0.138mm=0.000138m,由公式线密度=密度x琴弦的横截面积得，E弦的线密度是4.67x10^-4kg/m
则可得小提琴的相关参数：L=0.325m，F=82.6728N，ρ线=4.67x10^-4kg/m
相关参数的检验与修正
首先判断基频，利用上一节中得到的相关参数代入（3）式中可得
求得的基频647Hz与小提琴的空弦基频660Hz接近，证明了我们方法的有效性与可靠性，为了进一步靠近实际，在此我们做一下微小修正将拉力F从82.6728N改为86N可使基频调整至660Hz标准。
最终，修正后的相关参数为：L=0.325m，F=86N，ρ线=4.67x10^-4kg/m
总结
我们利用公式（3）以及修正后的小提琴相关参数可求得小提琴的基频率，并利用十二平均律的就可以计算出其它音对应的频率，然后利用前两篇博文提到的方法就可以实现matlab拟合小提琴演奏。
注：文章中处理办法及思路并非原创，集合了多篇论文思路，本文只做整理、梳理。
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