Educational Codeforces Round 138 (Rated for Div. 2)

D. Counting Arrays

题意

给定长度为nnn的数组aaa，若gcd(ai,i)=1gcd(ai, i) = 1gcd(ai,i)=1（元素与其下标互质）则可以删除aiaiai，其后的元素顺序前移直到数组为空。将删除的元素的下标按删除顺序排成一列这就是删除序列bbb。当数组aaa具有两种及以上的不同删除序列时，称数组aaa具有二重性。
求长度为111~nnn的数组 ，数组元素1<=ai<=m1<=ai<=m1<=ai<=m，有多少数组具有二重性。

分析

首先题目询问的是长度分别为1,2,3,……，n1,2,3,……，n1,2,3,……，n的数组，而不只是长度为nnn的数组，比赛时样例的26我死活算不出来。
因为数字111与所有数都互质gcd(1,x)=1gcd(1,x) = 1gcd(1,x)=1 所以很容易想到所有的数组都至少有一种删除序列即b=(1,1,1，……，1)b = (1,1,1，……，1)b=(1,1,1，……，1)，所以我们只需要再找到一种删除方式就可以构造出二重性。
求二重性的个数发现有困难，但是正难则反，我们可以考虑求出所有方案sumsumsum - 没有二重性的数组数量resresres。

开始求不具有二重性的数组数量，即我们需要构造出删除序列只有111的数组。考虑初始数组元素aiaiai，要让删除序列全为111那么不仅所有的gcd(ai,i)!=1gcd(ai,i) != 1gcd(ai,i)!=1 并且在删除过程中aiaiai在向前移动过程中也要保持gcd(ai,j)!=1(2<=j<=i)gcd(ai,j) != 1 (2 <= j <= i)gcd(ai,j)!=1(2<=j<=i) ，也就是说aiaiai的质因数要包含222~iii之间所有的质数，而mmm最大为101210^{12}1012最多包含十几个质因子,也就是说当数组长度大于一定以后(大概404040),就不可能有不具有二重性的数组了。

最后我们可以递推的方式求解，然后用累加的方法解决数组长度为111~nnn的问题。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 3e5 + 10, mod = 998244353;
ll n,m,p[50] = {0,0,2,3,0,5,0,7,0,0,0,11,0,13,0,0,0,17,0,19,0,0,0,23,0,0,0,0,0,29,0,31,0,0,0,0,0,37,41,43,47};//50以内的质数
int main()
{cin >> n >> m;ll sum = 0, sum1 = 1;for(int i = 1; i <= n; i ++){sum1 = sum1 * (m % mod) % mod;//sum1是长度为i的数组的总方案sum = (sum + sum1) % mod;//sum是累加结果}ll res = m % mod, res1 = m % mod, k = 1;for(int i = 2; i <= n; i ++){if(p[i]){if(k * i <= m) k = k * i;else break;}res1 = res1 * (m / k % mod) % mod;//res1是长度为i的数组没有二重性的总方案res = (res + res1) % mod;//res是累加结果}printf("%lld\n",(sum + mod - res) % mod);//sum - res为结果return 0;
}

更新：
D题10.21，E题待更新。

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