集合中所有子集元素之和

【题目】

给一个集合array，包含n个数。
规定集合的"值"为集合中所有元素的和。
求该集合的所有子集的值的和。

【示例】

数组[1,2]
它的子集有空集[],[1],[2],[1,2]
子集各自的值为0，1，2，3
所以子集值的和为0+1+2+3=6

【解法一】
思路：简单暴力的方法就是穷举数组所有的子集，然后逐个求子集的值，然后相加得到最终的结果。

缺点：时间复杂度高，每个集合的子集个数为2^n个。

实现：
太麻烦了，不实现了。

【解法二】
思路：通过计算每个元素在求和过程中出现的次数，尝试获取一种规律。

[1]==> 0+1=1 // 1出现一次
[1,2]==>0+1+2+(1+2)=6 // 1出现2次，2出现2次
[1,2,3]===>0+1+2+3+(1+2)+(1+3)+(2+3)+(1+2+3)=24 // 1,2,3出现4次

由于集合中元素具有无序性，所以集合中每个元素在子集中出现的次数是相同的。这样的话，问题就简单了，求所有子集元素的和就可以简化为求每个元素在子集中出现的次数*全集中所有元素的和。全集中所有元素的和好求，就是n*(n+1)/2。

集合中任何一个元素出现的次数，比如1，我们可以这样来求：

首先一个集合的子集个数是2n，这个都学过，我就不推导了。

我们想求 1 出现的次数，不好求，我们可以转化为求 1 不出现的次数，1 不出现的次数就是原来集合中除了元素 1 的元素的集合的子集个数。不明白？？举个例子

{1,2,3,4}这个集合子集的个数是24，除去 1 之后集合就变为 {2,3,4}这个集合的子集个数是23，也就是说只有这些集合中没有 1 ，我们想求的 1 出现的个数就是24-23

所以在含n个元素的集合中，任何一个元素在子集中出现的次数就是2n-2n-1=2n-1

所以集合中所有元素之和sum=(n*(n+1)/2)*(2n-1)

好像有点规律了，每个元素在求和过程中出现的次数是一样的。假设出现的次数是N。

sum = (1+2+3+4+...+n) * N

N的值又和数组的长度有关系，N=2^(n-1)

sum = (1+2+3+4+...+n) * 2^(n-1)

【实现】

#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){int n,sum;printf("输入数字 N : "); scanf("%d",&n);sum=pow(2,n-1)*(n*(n+1)/2);printf("和为%d\n",sum);
}

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