线性代数 --- 投影Projection 四（投影有什么用？Why projection）

笔者在投影这一系列的开篇就说过，我在学习投影的过程中，有很长的一段时间都是把重点放在了，如何计算投影本身，也就是背公式上。

现在我发现(尤其是明白了投影即分量之后)，学习投影的主要目的(或者说是学习重点)，并不是如何计算任意向量b在空间中另一个方向a上的投影，向量p。而是要思考为什么我们要绞尽脑汁把一个向量b，投影到我们希望的目标向量a或目标子空间S上(例如，三维空间中的x-y平面)？

因为，我们所要投影的目标向量a或者目标子空间S，都是可以通过他们所在的子空间的基底Base线性组合得到。或者说，我们所要投影的目标不单单是某个向量a或者说某个子空间S，而是某个nx1矩阵的列空间或者是某个nxm矩阵的列空间。

现在我们再回到这幅图（将就看）：

这是一个二维空间，x轴与y轴分别是这个空间的两个子空间，他们过0点，且线性无关。

对于子空间x轴而言，他是一个一维子空间，属于：

我们定义列向量b1=[1 0]'为他的基底（Base）。（注意，基底不唯一，也可以是向量[n 0]'。）

子空间中的任何一个向量都可以由他的基底张成(Span)。例如，x轴上的向量[5 0]'，可以由5乘以基底b1的线性组合得到，即，5xb1=5x[1 0]'=[5 0]'。且，基底通过线性组合可以张满整个子空间。现在我们从矩阵的视角来看看，如果我们把基底b1=[1 0]'当作2x1矩阵A的列向量，即：

这样一来，向量b在x轴上的投影p1(也就是在子空间x轴上的投影)，就变成了b在A的列空间上的投影。而它，可以通过A中各个列向量的线性组合得到。

对于子空间y轴而言，他也是一个一维子空间：

我们定义列向量b2=[0 1]'为他的基底（Base）。

把基底b2=[0 1]'作为A的列向量，则：

对于三维空间而言（凑合看）：

对于z轴而言，他是中的一个一维子空间，属于：

令，列向量b3=[0 0 1]'为该子空间的基底(Base)，让基底b3=[0 0 1]'作为3x1矩阵A1的列向量。

这样一来，投影向量p1=[0 0 z]不仅仅是向量b=[x y z]在子空间z轴上的投影，更是b在矩阵A1的列空间上的投影。如此一来，b就可以通过A1中各个列向量的线性组合得到，且，A1的列空间(即，A1中列向量所有可能的线性组合)就是z轴，因为A1各列的线性组合可以张满整个z轴。

对于x-y平面而言，他是中的另一个二维子空间，属于：

令，列向量b1=[1 0 0]'，b2=[0 1 0]'为该子空间的基底(Base)，让基底b1=[1 0 0]'和b2=[0 1 0]'作为3x2矩阵A2的列向量。

则，投影向量p2=[x y 0]'既是向量b=[x y z]在子空间x-y平面上的投影，更是b在矩阵A2的列空间上的投影。如此一来，b就可以通过A2中各个列向量的线性组合得到，且，A2的列空间(即，A2中列向量所有可能的线性组合)就是x-y平面，因为A2各列的线性组合可以张满整个x-y平面。

从投影到最小二乘：

继续前面的二维空间的例子：

1，向量b=[x y] ——投影在x方向——》得到投影向量p1=[x 0]'

2，投影向量p1，在矩阵A的列空间中，且，A的列是由基底b1=[1 0]'组成的。

3，这样一来，向量b在x轴或y轴上的投影/分量p1，就可以通过矩阵A各列的线性组合表示了。

4，现在可以把前面反复提及的向量b和线性代数中最常见的方程组Ax=b放在一起考虑。把向量b放在方程组的右端，如果方程组有解，则说明，向量b在A的列空间中，也就是说b在A的列空间上的投影就是它自己。因为，有解就说明向量b可以通过A的列向量的线性组合表示。

现在令b=p1=[x 0]，那么b就可以通过x轴的基底b1表示，b=x*b1[1 0]。

对于用基底作为A中各列的方程组Ax=b(p1)而言：

（A的第一列等于b1），方程有解

5，可实际情况是方程组Ax=b的b并不等于p1[x 0]，而是b=[x y]。很明显方程组无解，因为，仅仅只是用[1 0]，是无论如何都得不到[x y]。这时，为了让方程有解，我们只能把b投影到A的列空间上，也就是x轴上，找到一个最接近原方程Ax=b的近似解x'，把求解原方程组Ax=b变成了求解新的方程组Ax'=p1，最终得到x'=x。

小结：

把任意向量b投影到某个子空间上，也就是投影到与之对应的mxn矩阵的列空间上，这样一来，原本无解的方程Ax=b，就变成了可求解的Ax'=p。（这是最小二乘的核心）

课外阅读（个人笔记补充）：

（全文完）

作者 --- 松下J27

鸣谢（参考文献）：

1，《Introduction to Linear Algebra》,5th Edition - Gilbert Strang

2，线性代数及其应用，侯自新，南开大学出版社，1990.

外国哲理小诗分享：

黄色的树林里分出两条路，

可惜我不能同时去涉足，

我在那路口久久伫立，

我向着一条路极目望去，

直到它消失在丛林深处。

但我却选了另外一条路，

它荒草萋萋，十分幽寂，

显得更诱人、更美丽，

虽然在这条小路上，

很少留下旅人的足迹，

那天清晨落叶满地，

两条路都未经脚印污染。

啊，留下一条路等改日再见！

但我知道路径延绵无尽头，

恐怕我难以再回返。

也许多少年后在某个地方，

我将轻声叹息把往事回顾，

一片树林里分出两条路，

而我选了人迹更少的一条，

从此决定了一生的道路。

（配图与本文无关）

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