1. 引言

变量之间相关程度的度量，在参数统计中最常用的是Pearson矩相关系数。在非参数统计 [1] 中，Spearman秩相关系数和Kendall-τ相关系数是常用的方法。但是它们只适用于两个变量的情形，在实际中常常需要处理多个变量之间的相关性，或多个评价的一致性，如凭手感评定毛织物的紧密程度，评论员的检验结果是否一致 [2]。对这类问题，可采用Kendall协和系数(Kendall’s coefficient of concordance) [3] 来解决。Kendall协和系数也称为Kendall W系数，由M.G. Kendall和B. Babington Smith于1939年引入，用于检验多个变量之间的相关性。它以多变量秩和检验为基础，主要用于双因素设计或区组设计问题的检验。在非参数统计教学中学生常常对Kendall协和系数的理解存在困难，本文旨在提供一种简洁易懂的方法，帮助学生加强理解。

2. Kendall协和系数的基本原理

由于一致性检验问题常可以转化成区组问题，如裁判的评分是否一致，每个裁判即可看成一个区组，因此检验一致性也可理解成检验区组之间有无差异。为此我们引入区组设计的一些相关概念。设有b个区组，k个处理，第

j

(

j

=

1

,

2

,

⋯

,

b

) 个区组内的k个观测值分别为

x

1

j

,

x

2

j

,

⋯

,

x

k

j，其分布函数为

F

j

(

x

−

θ

i

)。要检验处理之间有无差异，原假设和备择假设分别为

H

0

:

θ

1

=

θ

2

=

⋯

=

θ

k，

H

1

:

θ

1

,

θ

2

,

⋯

,

θ

k 不全相等。

其中

θ

i 为第i个处理的位置参数。当然，若处理间有某种趋势时，如上升趋势，备择假设为

H

1

:

θ

1

≤

θ

2

≤

⋯

≤

θ

k

,

θ

1

<

θ

k。

为了解决这一问题，在非参数统计中，我们先要对同一区组内的观测值由小到大进行排序，再求出观测值的秩在同一处理内的平均。如表1所示。

Table 1. The case of k treatments and b blocks

表1. k个处理b个区组的情况

R

i

j 为第i个处理第j个区组内的观测值

x

i

j 在区组j内的排序，当同一区组内有相同的观测值(即有结)时，此时要对秩取平均。

R

i

+ 为第i个处理的秩和，

R

i 为第i个处理的秩平均。

其次，计算处理间的方差

S

S

B

=

b

∑

i

=

1

k

(

R

i

¯

−

R

¯

)，再计算同一处理内的方差

S

S

E

=

∑

i

=

1

k

∑

j

=

1

b

(

R

i

j

−

R

¯

i

)

2 以及总方差

S

S

T

=

∑

i

=

1

k

∑

j

=

1

b

(

R

i

j

−

R

¯

)

2。特别强调的是，此处组间的方差是处理间的方差，组内的方差为同一处理内的方差。

我们将对总方差(SST)进行分解，得到SST = SSB + SSE，当同一区组内没有相同的观测值时，总方差

S

S

T

=

b

k

(

k

2

−

1

)

12， (1)

为常数。若处理间的方差SSB增大，处理内的方差SSE会减小。当处理内的方差SSE减小到一定程度时，即可认为评论员对同一处理的打分具有一致性，显然，此时处理间的方差足够大。可借用Friedman所提出的Friedman检验统计量 [2]，即

Q

=

12

k

(

k

+

1

)

S

S

B (2)

来判断原假设是否成立。当Q比较大时，拒绝原假设，认为

θ

1

,

θ

2

,

⋯

,

θ

k 不全相等。由以上的分析我们知道，拒绝原假设时，处理间的方差足够大，意味着处理内的方差足够小，即评论员的打分一致，所以在一致性检验中，原假设和备择假设转变为

H

0 ：评价不一致；

H

1 ：评价具有一致性。

这是在教学中学生最容易混淆的。类似于相关系数的值规范在[−1, 1]之间，我们也对Q进行规范，将(1)和(2)带入下列式子中，得到

W

=

S

S

B

S

S

T

=

Q

b

(

k

−

1

)，(3)

即为M.G. Kendall和B. Babington Smith提出的Kendall协和系数。W的取值范围为[0, 1]，越接近1说明相关性越大，评价越一致，在实际中我们可以借助软件计算p值，也可以直接采用SPSS进行判断。

3. 案例分析

案例：请6位电影评家对4部电影打分，评分结果见表2：试问三个评家的评价结果是否具有一致性？

α

=

0.05。

Table 2. The scores by the 6 film critics

表2. 6个影评家的评分结果

此时，区组为影评家，处理为电影，参数k = 4, b = 6。检验步骤为：

1) 原假设H0:看法不一致；备择假设H1:看法一致，

2) 用kenddal-W检验计算Q = 12*SSB/4 * 5 = 8.4，或W = 8.4/6 * 3 = 0.467，

3) 查Friedman检验统计量表，k = 4, b = 6得到

α

=

0.05 时的临界值为7.6，或计算

p

=

P

(

W

≥

0.467

)

=

0.038，

4) 拒绝原假设，认为看法一致。

采用SPSS进行操作，步骤如下：

1) 输入变量为电影1，电影2，电影3，电影4，

2) 接下来在个案中录入各影评家的评分，共6行，

3) 统计–非参数检验–k个相关样本–检验变量–检验类型：kendall W检验，

结果见表3，与手算结果一致。

Table 3. Test statistics

表3. 检验统计量

a. Kendall协同系数。

4. 总结

本文针对学生在课堂上对Kendall协和系数理解较为困难，从方差分析的角度解释Kendall协和系数，帮助学生理解Kendall协和系数的来源，由此知道为何看法一致放在备择假设中。并从实例出发，帮助学生解答有关一致性检验的问题。

基金项目

本项目由国家自然科学基金(基金号：11961035，11661076)支持。